Descripción

El mayor logro del siglo XVII fue el cálculo infinitesimal. De ese manantial brotaron nuevas e importantes ramas de la matemática: ecuaciones diferenciales, series, geometría diferencial, cálculo de variaciones, funciones de variable compleja y muchas otras. El germen de alguna de estas materias estaba ya presente en los trabajos de Newton y Leibniz, y en el siglo XVIII estuvo dedicado en buena medida al desarrollo de estas ramas del análisis. Pero antes de que esto pudiese llevarse a cabo hubo que desarrollar el propio cálculo infinitesimal, pues, si bien Newton y Leibniz habían creado los métodos básicos, restaba mucho por hacer. Había que identificar como tales, o crearlas, muchas nuevas funciones de una variable, así como funciones de dos o más variables, había que extender las técnicas de derivación y de integración a ciertas funciones conocidas y a otras todavía por conocer y quedaban por establecer los fundamentos lógicos del cálculo infinitesimal.

El primer objetivo consistió en ampliar la materia objeto del cálculo infinitesimal y a ello están dedicados el presente capítulo y el próximo. Los matemáticos del siglo XVIII extendieron el cálculo infinitesimal y fundaron nuevas ramas del análisis, encontrándose en el proceso con los sufrimientos, los errores, las imperfecciones y la confusión de todo proceso creativo. Elaboraron un tratamiento puramente formal del cálculo infinitesimal y de las ramas del análisis resultantes de él. Su habilidad técnica fue insuperable, aunque no fue guiada por un elaborado pensamiento matemático, sino por agudas percepciones de carácter físico e intuitivo.

Estos esfuerzos formales resistieron la prueba de posteriores exámenes críticos y dieron lugar a grandes líneas de pensamiento. La conquista de nuevos dominios de la matemática tiene algo de las conquistas militares: ataques audaces en el territorio enemigo permiten capturar plazas fuertes y, después, estas incursiones han de ser seguidas y apoyadas por operaciones más amplias, profundas y cautelosas a fin de asegurar lo que solo había sido alcanzado inseguramente a manera de ensayo. Para apreciar el trabajo y los argumentos de los pensadores del siglo XVIII será útil tener presente que ellos no distinguían entre álgebra y análisis.

Al no apreciar la necesidad del concepto de límite y, en consecuencia, los problemas que se introducían por el uso de series infinitas, contemplaban el cálculo infinitesimal, de un modo ingenuo, como una extensión del álgebra. La figura clave en la matemática del siglo XVIII es Leonhard Euler $1707-83$, físico teórico preeminente del siglo y hombre que hay que situar a la altura de Arquímedes, Newton y Gauss. Nacido cerca de Basilea de un padre pastor calvinista, que quería que estudiase teología, ingresó en la universidad de esa ciudad, completando sus estudios a la edad de quince años. En Basilea estudió matemáticas con Jean Bernoulli, decidió dedicarse a esta ciencia y comenzó a publicar a la edad de dieciocho años, ganando a los diecinueve un premio de la Academia de Ciencias francesa por un trabajo sobre la arboladura de buques. Gracias a los hijos de Jean Bernoulli, Nicolaus $1695-1726$ y Daniel $1700-82$, consiguió un puesto en la Academia de San Petersburgo, en Rusia, comenzando como ayudante de Daniel Bernoulli y sucediéndole pronto como profesor. Aunque Euler pasó unos años difíciles $1733-41$ bajo un gobierno autocrático, llevó a cabo una cantidad asombrosa de investigaciones cuyos resultados aparecieron en artículos publicados por la Academia de San Petersburgo.