Ángulo entre dos rectas

En el espacio, dos rectas pueden ser coincidentes, paralelas, secantes o bien cruzarse. Los ángulos que determinan se definen de manera distinta en cada caso. Así:

• Si dos rectas son coincidentes o paralelas forman un ángulo de $0^circ$.
• Si dos rectas son secantes, determinan cuatro ángulos iguales dos a dos. El menor de dichos ángulos se define como el ángulo entre las rectas.
• Si dos rectas se cruzan, el ángulo entre ellas es el más pequeño de los ángulos que forma la paralela a una de las rectas que corta a la otra.

Por tanto, al igual que sucedía en el plano, el coseno del ángulo $alpha$ coincidirá $excepto el signo$ con el ángulo formado por los vectores directores de la recta. Por tanto,

$$cos$widehat{r s}$=cosalpha=|cos$widehat{vec{u} vec{v}}$|=
Big|dfrac{vec{u}cdotvec{v}}{|vec{u}||vec{v}|}Big|=
dfrac{|vec{u}cdotvec{v}|}{|vec{u}||vec{v}|}$$

siendo $vec{u}$ y $vec{v}$ vectores directores de las rectas $r$ y $s$.

Por tanto,

$$ alpha=arccosBig$dfrac{|vec{u}cdotvec{v}|}{|vec{u}||vec{v}|} Big$ qquad alpha in [0,dfrac{pi}{2}]$$

Por último, si $vec{u}=$u_1,u_2,u_3$$ y $vec{v}=$v_1,v_2,v_3$$, la expresión en componentes de la fórmula anterior es:

$$ cos$alpha$=dfrac{|u_1 v_1+u_2 v_2+u_3 v_3|}
{sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}}$$

Ejemplo