Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas, $r$ y $s$, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $r$ y un punto cualquiera de $s$.

• Si las rectas son secantes o coincidentes, su distancia es, evidentemente, cero. Es decir, $d $r, s$ = 0$.
• Si las rectas son paralelas, la distancia entre $r$ y $s$ es la distancia de un punto de cualquiera de las dos rectas a la otra.

Para encontrar la expresión analítica de la distancia de $r$ a $s$, supondremos que tenemos $r: Ax + By + C = 0$ y $s: Ax + By + C’ = 0$. Como las rectas han de tener vectores directores paralelos, en particular podemos suponer que tienen el mismo y por eso $A = A’$ y $B = B’$.

Como las rectas no pueden ser coincidentes evidentemente tendremos $Cneq C’$.

Sea ahora $P =$p_1,p_2$$ un punto perteneciente a la recta $r$. Entonces tenemos:
$$displaystyle d$r,s$=d$P,s$=frac{|Acdot p_1+Bcdot p_2+C’|}{sqrt{A^2+b^2}}$$
Pero como $P$ pertenece a la recta $r$ se tiene
$$Acdot a_1+Bcdot a_2+C=0 Leftarrow Acdot a_1+Bcdot a_2=-C$$
sustituyendo,
$$d$r,s$=d$P,S$=displaystyle frac{|C’-C|}{sqrt{A^2+B^2}}$$

Ejemplo