La distancia entre dos rectas $r$ y $r’$, $text{d}$r,r’$$, es la mínima distancia entre un punto cualquiera de $r$ y un punto cualquiera de $r’$.
- Si las rectas son coincidentes o secantes, la distancia entre ellas es cero, $text{d}$r,r’$=0$.
- Si las rectas son paralelas, se calcula la distancia entre ellas tomando un punto cualquiera de una de las dos rectas, $Pin r$ o $P’in r’$, y encontrando la distancia a la otra recta:
$text{d}$r,r’$=text{d}$P,r’$=text{d}$r,P’$$ - Si las rectas se cruzan, se deduce la siguiente fórmula general para calcular la distancia entre ellas:Tomamos un punto $A$ perteneciente a $r$ y otro punto $A’$ perteneciente a $r’$. Sean $vec{v}$ y $vec{v}’$ vectores directores de $r$ y $r’$. Unimos los puntos $A$ y $A’$. El volumen del paralelepípedo determinado por $overrightarrow{AA’}$, $vec{v}$ y $vec{v}’$, es el valor absoluto del producto mixto de estos vectores:
$$v_p=|[overrightarrow{AA’},vec{v},vec{v}’]|$$Por otro lado también podemos calcular este volumen mediante el producto del área de la base por la altura:
$$v_p=|vec{v}timesvec{v}’|text{d}$r,r’$|$$Por tanto:
$$text{d}$r,r’$=dfrac{|[overrightarrow{AA’},vec{v},vec{v}’]|}
{|vec{v}timesvec{v}’|}$$
Ejemplo
Vamos a calcular la distancia entre las rectas:
$$ r:x-2=dfrac{y+3}{2}=z qquad r’:x=y=z$$
Primero se determina su posición relativa. Para ello se deben escribir las ecuaciones implícitas de la recta:
$$ r:left{ begin{array}{l} 2x-y-7=0 \ x-z-2=0 end{array}
right. qquad r’:left{ begin{array}{l} x-y=0 \
x-z=0 end{array} right.$$
Y calculamos el rango de las matrices del sistema de ecuaciones resultante:
$$|M’|=begin{vmatrix} 2 & -1 & 0 & 7 \ 1 & 0 & -1 & 2 \
1 & -1 & 0 & 0 \ 1 & 0 & -1 & 0 end{vmatrix} =2 neq 0 $$
Por tanto $text{rango}$M’$=4$ y las dos rectas se cruzan. Así, debemos encontrar un punto y el vector director de cada recta.
Para la recta $r$: $A=$2,-3,0$$ y $vec{v}=$1,2,1$$.
Para la recta $r’$: $A’=$0,0,0$$ y $vec{v}=$1,1,1$$.
Así tenemos: $overrightarrow{AA’}=$-2,3,0$$
$$begin{array}{rl}
|vec{v}timesvec{v}’|=&left| begin{vmatrix} vec{i} & vec{j} &
vec{k} \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{vmatrix} right|=
|2vec{i}+vec{j}+vec{k}-2vec{k}-vec{j}-vec{i}|=
|vec{i}-vec{k}| \ =& |$1,0,-1$| = sqrt{1^2+0^2+$-1$^2}=sqrt{2}
end{array}$$
$$[overrightarrow{AA’},vec{v},vec{v}’]= begin{vmatrix}
-2 & 3 & 0 \ 1 & 2 & 1 \ 1 & 1 & 1 end{vmatrix} =
-4+3+2-3=-2 $$
Finalmente:
$$ text{d}$r,r’$=dfrac{|[overrightarrow{AA’},vec{v},vec{v}’]|}
{|vec{v}timesvec{v}’|}= dfrac{|-2|}{sqrt{2}}=sqrt{2}$$
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