A continuación se analizan las hipérbolas verticales con centro en el punto genérico $C$x_0,y_0$$. El eje focal es ahora paralelo al eje de las ordenadas, y por lo tanto los focos están en los puntos $F’$x_0,y_0-c$$ y $F$x_0,y_0+c$$.
Aplicando ahora la definición general obtenemos
$$\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0+c$^2}-\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}=2a$$
Se suma la raíz y se eleva al cuadrado:
$$\begin{array}{rcl} \Big$\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0+c$^2}\Big$^2 & = & \Big$ 2a+\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2} \Big$^2 \\ $x-x_0$^2+$y-y_0+c$^2 & = & 4a^2+4a \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}+ \\ & & +$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2 \\ $x-x_0$^2+$y-y_0$^2+2$y-y_0$c+c^2 & = & 4a^2+4a \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}+ \\ & & +$x-x_0$^2+$y-y_0$^2-2$y-y_0$^2 \\ & & -2$y-y_0$c+c^2\end{array}$$
Al simplificar y dividiendo por cuatro:
$$\begin{array}{rcl} 4$y-y_0$c & = & 4a^2+4a\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2} \\ $y-y_0$c & = & a^2+a \sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2} \end{array}$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado:
$$\begin{array}{rcl} $c$y-y_0$-a^2$^2 & = & \Big$a\sqrt{$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2}\Big$^2 \\ c^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^4 & = & a^2$$x-x_0$^2+$y-y_0-c$^2$ \\ c^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^4 & = & a^2 $$x-x_0$^2+$y-y_0$^2-2c$y-y_0$+c^2$ \\ c^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^4 & = & a^2$x-x_0$^2+a^2$y-y_0$^2-2a^2c$y-y_0$+a^2c^2 \\ c^2$y-y_0$^2-a^2$y-y_0$^2-a^2$x-x_0$^2& = & a^2 c^2-a^4 \\ $c^2-a^2$$y-y_0$^2-a^2$x-x_0$^2 & = & a^2$c^2-a^2$ \end{array}$$
Dividir entonces entre $a^2$c^2-a^2$$ para obtener un $1$ a la derecha:
$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{$c^2-a^2$$y-y_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}-\frac{a^2$x-x_0$^2}{a^2$c^2-a^2$} & = & 1 \\ \frac{$y-y_0$^2}{a^2}-\frac{$x-x_0$^2}{$c^2-a^2$}=1 \end{array}$$
Al aplicar la definición $c^2=a^2+b^2=$, $b^2= c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada para la hipérbola vertical:
$$\displaystyle \frac{$y-y_0$^2}{a^2}-\frac{$x-x_0$^2}{b^2}=1$$
A continuación se verá un ejemplo práctico en el que se observará de forma más sencilla los pasos realizados para llegar a la ecuación para la hipérbola vertical.
Ejemplo
Hallar la ecuación de la hipérbola cuyos focos están en los puntos $F’ $3,-1$$ y $F $3,5$$ y excentricidad $\displaystyle e=\frac{3}{2}$.
Identificando en $F’$x_0,y_0-c$$ y en $F$x_0,y_0+c$$ se halla $x_0=3, \ y_0= 2$ y $c=3$.
Aplicando la fórmula para la excentricidad $\displaystyle e=\frac{c}{a}$ se despeja $a=2$.
Aplicando ahora $\overline{PF}-\overline{PF’}=2a$ obtenemos
$$\displaystyle \sqrt{$x-3$^2+$y-2+3$^2}-\sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2}= 2 \cdot 2$$
Tal y como se hizo teóricamente, se suma la raíz, y eleva al cuadrado:
$$\displaystyle \begin{array}{rcl} \Big$ \sqrt{$x-3$^2+$y-2+3$^2}\Big$ ^2 & = & \Big$ 4+\sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2}^2 \\ $x-3$^2+$y-2+3$^2 & = & 4^2+4 \cdot 2 \sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2} \\ & & +$x-3$^2+$y-2-3$^2 \\ $x-3$^2+$y-2$^2+2 \cdot 3 $y-2$ + 3^3 & = & 16+8\sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2}+ \\ & & +$x-3$^2+$y-2$^2-2 \cdot 3 $y-2$ \\ & & +3^2 \end{array} $$
Al simplificar y dividiendo entonces por cuatro:
$$\begin{array} {rcl} 12$y-2$ & = & 16+8\sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2} \\ 3$y-2$ & = & 4+2\sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2} \end{array}$$
Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado:
$$\begin{array} {rcl} \Big$3$y-2$-4\Big$^2 & = & \Big$2\sqrt{$x-3$^2+$y-2-3$^2}\Big$ \\ 3^2$y-2$^2-2 \cdot 3 \cdot 4 $y-2$ + 4^2 & = & 2^2$$x-3$^2+$y-2-3$^2$ \\ 9$y-a$^2-24 $y-2$ + 16 & = & 4$$x-3$^2+$y-2$^2-2 \cdot 3 $y-2$+3^2$ \\ 9$y-2$^2-24$y-2$+16 & = & 4$x-3$^2+4$y-2$^2-24$y-2$+36 \\ 9$y-2$^2-4$y-2$^2-4$x-3$^2 & = & 36-16 \\ $9-4$$y-2$^2-4$x-3$^2 & = & 20 \\ 5$y-2$^2-4$x-3$^2 & = & 20\end{array}$$
Al dividir entonces entre $20$ para obtener un $1$ a la derecha:
$$ \displaystyle \begin{array}{rcl} \frac{5$y-2$^2}{20}-\frac{4$x-3$^2}{20} & = & 1 \\ \frac{$y-2$^2}{4}- \frac{$x-3$^2}{5}=1 \end{array}$$
y se halla la ecuación deseada.
Al desarrollar la ecuación tanto de la hipérbola vertical como de la horizontal, en general, se puede expresar la ecuación de la forma $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$ en donde $A$ y $B$ no pueden tener el mismo signo.
Ejemplo
Transformar la ecuación del ejercicio anterior a la forma $Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0$.
Partiendo de $\displaystyle \frac{$y-2$^2}{4}-\frac{$x-3$^2}{5}=1$ se multiplica por el $m.c.m $4,5$$:
$$5$y-2$^2-4$4x-3$^2= 20$$
Seguidamente se desarrollan los cuadrados y se deja todo del mismo lado de la ecuación:
$$\begin{array}{rcl} 5$y^2-2 \cdot 2y +2^2$-4$x^2-2 \cdot 3x+3^2 $ & = & 20 \\ 5y^2-5 \cdot 4y+ 5 \cdot 4-4x^2+4 \cdot 6x-4 \cdot 9 -20 & = & 0 \\ 5y^2-20y+20-4x^2+24x-36-20 & = & 0 \\ -4x^2+5y^2+24x-20y-36 & = & 0 \end{array}$$
Déjanos un comentario No hay comentarios
Aún no hay comentarios
Sé el primero en compartir tu opinión sobre este contenido.
Escribir un comentario