Ecuación general del plano

Para cada punto del plano $pi$, podemos considerar las tres ecuaciones paramétricas como un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, $lambda$ y $mu$, que debe tener solución única.
Por tanto el sistema:
$$left. begin{array}{rcl}x-a_1 &=&lambda cdot u_1 +mu cdot v_1 y-a_2& = &lambda cdot u_2+mu cdot v_2 z-a_3&=&lambda cdot u_3 +mu cdot v_3end{array}right}$$

tiene que ser compatible determinado y por tanto el siguiente determinante debe valer $0$:
$$left|begin{matrix}x-a_1 & u_1 & v_1 y-a_2 & u_2 & v_2 z-a_3 & u_3 & v_3end{matrix} right|=0$$
Si desarrollamos el determinante anterior obtenemos:
$$$u_2v_3-u_3v_2$cdot x+$u_3v_1-u_1v_3$cdot y+$u_1v_2-u_2v_1$cdot z+ +[-a_1$u_2v_3-u_3v_2$-a_2$u_3v_1-u_1v_3$-a_3$u_1v_2-u_2v_1$]=0$$
Y si llamamos $A, B$ y $C$ a los coeficientes de $x, y, z$, y $D$ al término independiente, obtenemos la ecuación lineal:
$$Ax + By + Cz + D = 0$$
que se conoce como ecuación general, cartesiana o implícita del plano.

Además el vector $overrightarrow{v} = $A, B, C$$ es un vector perpendicular al plano.

Ejemplo

Dados los puntos $A = $1,-3, 5$, B = $-2, 2,-1$$ y $C = $1,-1, 0$$, encontrad las ecuaciones paramétricas del plano que determinan.

La ecuación vectorial es: $$$x, y, z$ = $1,-3, 5$ + lambda cdot $-3, 5,-6$ + mu cdot $0, 2,-5$$$
y las ecuaciones paramétricas son:
$$left{begin{array}{rcl}x&=&1-3lambda y&=&-3+5lambda+2mu z&=&5-6lambda-5mu end{array}right.$$

Si escribimos el determinante del sistema e igualamos a cero tenemos:
$$left| begin{matrix} x-1 & -3 & 0 y+3 & 5 & 2 z-5 & -6 & -5 end{matrix}right|=0$$
Y si lo desarrollamos:
$$left| begin{matrix} x-1 & -3 & 0 y+3 & 5 & 2 z-5 & -6 & -5 end{matrix}right|=-25$x-1$-6$z-5$-15$y+3$+12$x-1$==-25x+25-6z+30-15y-45+12x-12=-13x-15y-6z-2=0$$
Una característica importante de la ecuación general del plano es que nos permite obtener un vector normal con sólo mirar la ecuación.

Si la ecuación es $Ax + By + Cz + D = 0$ entonces $overrightarrow{n}=$A,B,C$$ es un vector normal del plano. En nuestro caso $overrightarrow{n}=$-13,-15,-6$$.