Coordenadas de un punto, componentes de un vector y punto medio de un segmento

Coordenadas de un punto en el plano

Veamos como se utilizan los vectores para asignar coordenadas a los puntos del plano.

Consideramos un punto fijo del plano $O$ $conocido como origen$, y una base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ de $V_2$ $Espacio vectorial de dimensión 2$.

Recordemos que una base de $V_2$ son dos vectores linealmente independientes. El conjunto formado por $O$ y $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ constituye un sistema de referencia en el plano, ya que permite determinar la posición de cualquier otro punto del plano.

Esto se debe al hecho que cualquier otro punto $P$ del plano determina con el punto $O$ un vector $\overrightarrow{OP}$. Sean $$p_1,p_2$$ las componentes del vector en la base $B$. Entonces $$p_1,p_2$$ son las coordenadas del punto $P$ en el sistema de referencia $R=\{O;\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$ y escribimos $P =$p_1,p_2$$.

El procedimiento para encontrar las coordenadas de un punto $P$ en un sistema de referencia dado es el siguiente:

1. A partir de los puntos $O$ i $P$ determinamos el vector $\overrightarrow{OP}$
2. Expresamos el vector $\overrightarrow{OP}$ como combinación lineal de los vectores de la base $B=\{\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}\}$, es decir, $\overrightarrow{OP}=p_1 \cdot \overrightarrow{u}+p_2 \cdot \overrightarrow{v}$
3. $P=$p_1,p_2$$

Ejemplo

De ahora en adelante consideraremos como sistema de referencia $R$ el formado por el origen de coordenadas $O = $0, 0$$ y la base canónica de $V_2$ $B =\{\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\}$.

Componentes de un vector determinado por dos puntos

Veamos ahora la forma de determinar las componentes de un vector si sabemos las coordenadas de sus extremos:

Sean $P =$p_1,p_2$$ y $Q = $q_1,q_2$$ dos puntos del plano, y sea $\overrightarrow{PQ}$ el vector que va de $P$ a $Q$. Entonces las componentes del vector $\overrightarrow{PQ}$ son $\overrightarrow{PQ}=$q_1-p_1,q_2-p_2$$.

Ejemplo

Aplicar un vector a un punto

Dados un punto $P$ y un vector $\overrightarrow{v}$, el resultado de aplicar el vector al punto es un nuevo punto $Q$ situado en la dirección de $\overrightarrow{v}$ y a una distancia $|\overrightarrow{v}|$. $módulo del vector $\overrightarrow{v}$$

Las coordenadas de este nuevo punto $Q$ se calculan a partir de las de $P =$p_1,p_2$$ y $\overrightarrow{v}=$v_1,v_2$$ cómo:
$$Q = P +\overrightarrow{v}=$p_1+v_1,p_2+v_2$$$

NOTA: Es muy importante tener presente que esta operación de «suma» sólo tiene sentido entre un punto y un vector. NUNCA debemos sumar dos puntos, y el resultado de sumar dos vectores es otro vector y no un punto!

Ejemplo

Punto medio de un segmento

Consideremos ahora el segmento de extremos $A = $a_1,a_2$$ y $B = $b_1,b_2$$. Sea $M =$m_1,m_2$$ el punto medio de dicho segmento. Evidentemente dicho punto cumple que $\overrightarrow{AB}=2\cdot \overrightarrow{AM}$, o sea que $$b_1-a_1,b_2-a_2$=2\cdot $m_1-a_1,m_2-a_2$$

Separando componente a componente obtenemos:
$$\begin{array}{rcl} b_1-a_1 & = & 2 \cdot $m_1-a_1$ \\ b_2-a_2 &=& 2\cdot $m_2-a_2$ \end{array}$$
y aislando tenemos:
$$\begin{array}{rcl} m_1 & = & \displaystyle \frac{a_1+b_1}{2}\\ m_2 &=& \displaystyle \frac{a_2+b_2}{2} \end{array}$$
De forma que podemos calcular las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos.

Ejemplo