Ecuación vectorial del plano

Para determinar un plano en el espacio se necesitan un punto y dos direcciones distintas. Estas direcciones vienen dadas por dos vectores linealmente independientes que se llaman vectores directores del plano.

Es importante resaltar que es equivalente tener un punto y dos vectores linealmente independientes que tener tres puntos no alineados. Veámoslo:

Si tenemos tres puntos $A, B,$ y $C$, podemos obtener 1 punto y dos vectores haciendo:
$$begin {array}{rcl}P&=&A \ overrightarrow{v}&=&overrightarrow{AB} \ overrightarrow{w}&=&overrightarrow{AC}end{array}$$

Evidentemente, si tenemos 1 punto $P$ y dos vectores $overrightarrow{v}$ y $overrightarrow{w}$ podemos obtener tres puntos haciendo:
$$begin{array}{rcl} A&=&P \ B&=& P + overrightarrow{v} \ C&=& P+overrightarrow{w}end{array}$$
Consideremos ahora en el sistema de referencia ${O; overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}}$ el plano $pi$ que pasa por el punto $P$ y que tiene por vectores directores $overrightarrow{v}$ y $overrightarrow{w}$. Lo simbolizaremos por $pi$A,overrightarrow{v},overrightarrow{w}$$.

Como en el caso de la recta, podemos expresar cualquier punto del plano aplicando una combinación lineal de dos vectores directores del plano a un punto del mismo.

Así tenemos que la ecuación vectorial es:
$$P = A +lambda overrightarrow{v} +mu overrightarrow{w}$$ que expresada en coordenadas es:
$$$x,y,z$=$a_1,a_2,a_3$ +lambda cdot $v_1,v_2,v_3$+mu cdot $w_1,w_2,w_3$$$

Ejemplo