Perpendicularidad de rectas

Dos rectas $r$ y $s$ son perpendiculares si y solo si el ángulo entre ellas es de $90^circ$. Esto equivale a que el coseno del ángulo sea igual a $0$ $$cos widehat{$r,s$}=0$$ y por tanto a que el producto escalar de sus vectores directores sea igual a $0$.

Si tenemos las rectas $Ax + By + C = 0$ y $A’x + B’y +C ‘= 0$, vectores directores de dichas rectas son $overrightarrow{u}= $-B, A$$ y $overrightarrow{v}= $-B’, A ‘$$.

Por tanto, si en coordenadas imponemos que el producto escalar de los dos vectores sea $0$ tenemos:
$$overrightarrow{u}cdotoverrightarrow{v}=0 Leftrightarrow u_1cdot v_1+u_2cdot v_2=0 Leftrightarrow -B cdot $-B’$ + A cdot A’ = 0 Leftrightarrow$$
$$Leftrightarrow Bcdot B ‘+ A cdot A’ = 0 Leftrightarrow A cdot A ‘=-B · B’ Leftrightarrow displaystyle frac{A}{B}=-frac{B’}{A’}$$

Por tanto ya tenemos una manera de comprobar si dos vectores, y por tanto dos rectas, son perpendiculares a partir de sus componentes.

Si recordamos además que $displaystyle m_1=frac{-A}{B}$ y $displaystyle m_2=frac{-A’}{B’}$ son las pendientes de $r$ y $s$, tenemos que la condición de perpendicularidad es equivalente a: $m_1=displaystyle -frac{1}{m_2}$

Recordemos por último que si tenemos un vector $overrightarrow{v}=$v_1,v_2$$, un vector $overrightarrow{w}$ perpendicular a $overrightarrow{v}$ es $overrightarrow{w}=$-v_2,v_1$$.

Ejemplo