A partir de las ecuaciones continuas de la recta $r$ obtenemos:
$$left.begin{array}{rcl} displaystyle frac{x-a_1}{v_1} =frac{y-a_2}{v_2} & Longrightarrow & v_2$x-a_1$ = v_1$y-a_2$ \ displaystyle frac{x-a_1}{v_1} =frac{z-a_3}{v_3}& Longrightarrow & v_3$x-a_1$=v_1$z-a_3$end{array}right} Longrightarrow left. \ begin{array}{rcl} v_2cdot x-v_1cdot y+$a_2v_2-a_1v_2$ &=&0 \ v_3cdot x-v_1cdot z+$a_3v_1-a_1v_3$ &=&0end{array}right}$$
Aunque generalmente estas ecuaciones suelen escribirse como
$$left. begin{array}{rcl} Ax+By+Cz+D&=&0 \ A’x+B’y+C’z+D’&=&0end{array}right}$$
y se conocen como ecuaciones implícitas de la recta.
Ejemplo
La recta que pasa por el punto $A = $-1, 1, 3$$ y que tiene $overrightarrow{v}=$3,-2,1$$ por vector director, tiene las ecuaciones continuas:
$$displaystyle frac{x+1}{3}=frac{y-1}{-2}=z-3$$
Si separamos y operamos tenemos:
$$left.begin{array}{rcl} displaystyle frac{x+1}{3} &=& frac{y-1}{-2} \ displaystyle frac{x+1}{3} &=& z-3end{array}right} Rightarrow left.begin{array}{rcl} -2$x+1$ &=& 3$y-1$ \ x+1 &=& 3$z-3$ end{array}right}Rightarrow left.begin{array}{rcl} -2x-2 &=& 3y-3 \ x+1 &=& 3z-9 end{array}right} \ Rightarrow left.begin{array}{rcl}-2x-2-3y+3 &=& 0 \ x+1 -3z+9&=& 0 end{array}right}Rightarrow left.begin{array}{rcl}-2x-3y+1 &=& 0 \ x -3z+10&=& 0end{array}right}$$
que son las ecuaciones implícitas de la recta.
Ejemplo
Encuentra las ecuaciones paramétricas y determina un vector director de la recta $r$ cuyas ecuaciones implícitas son:
$$r:left{begin{array}{rcl} x+2y-z-3 &=&0 \ 2x+5y+2z-4&=&0end{array}right.$$
Para transformar las ecuaciones implícitas en paramétricas resolveremos el sistema por el método de Cramer.
Los pasos a seguir son los siguientes:
- Escogemos un menor de orden dos cuyo determinante sea distinto de cero:$$left| begin{matrix} 1 & 2 \ 2 & 5 end{matrix}right|=5-4=1 neq 0$$
- Sustituimos la incógnita que no interviene en este menor $en este caso $z$$, por un parámetro $k$. Tenemos por tanto, $z = k$, y aislamos las variables:$$left. begin{array}{rcl} x+2y-z-3&=&0 \ 2x+5y+2z-4&=&0 end{array}right} \ left. begin{array}{rcl} x+2y-k-3&=&0 \ 2x+5y+2k-4&=&0 end{array}right} \ left. begin{array}{rcl} x+2y&=&k+3\2x+5y &=& -2k+4end{array}right}$$
- Por último aplicamos la regla de Cramer:
$$displaystyle x=frac{left|begin{matrix} k+3 & 2 \ -2k+4 & 5 end{matrix} right|}{1}=5k+15+4k-8=7+9k$$
$$displaystyle x=frac{left|begin{matrix} 1 & k+3 \ 2 & -2k+4 end{matrix} right|}{1}=-2k+4-2k-6=-2-4k$$
Por tanto las ecuaciones paramétricas son:
$$left{ begin{array}{rcl} x&=& 7+9k\ y&=& -2-4k \ z&=&kend{array}right.$$y un punto y un vector de la recta son$$ A=$7,-2,0$ qquad overrightarrow{v}=$9,-4,1$$$
Déjanos un comentario No hay comentarios
Aún no hay comentarios
Sé el primero en compartir tu opinión sobre este contenido.
Escribir un comentario