Si a partir de la ecuación continua de la recta operamos y agrupamos términos obtenemos:
$$displaystyle begin{array}{rcl} frac{x-p_1}{v_1} &=&frac{y-p_2}{v_2} \ v_2$x-p_1$ &=& v_1$y-p_2$\ v_2 cdot x-v_2 cdot p_1&=& v_1 cdot y-v_1cdot p_2 \ v_2cdot x-v_1 cdot y+$v_1cdot p_2-v_2cdot p_1$&=&0 \ Ax+By+C&=& 0end{array}$$
Donde evidentemente,$$begin{array}{rcl}A&=&v_2 \ B&=& -v1\ C&=& v_1cdot p_2 – v_2 cdot p_1 end{array}$$Una propiedad interesante de esta ecuación es que $overrightarrow {v}=$-B,A$$ es un vector director de la recta, y por tanto $overrightarrow{w}=$A,B$$ es un vector perpendicular a la recta.
Ejemplo
Encontrad la ecuación implícita de la recta $r$:$$displaystyle frac{x-3}{-5}=frac{y-4}{2}$$
Operando y pasando todos los términos a un lado obtenemos:
$$begin{array}{rcl} 2$x-3$ &=& -5 $y-4$ \ 2x-6 &=& -5y+20 \ 2x+5y-6-20 &=& 0 \ 2x+5y-26&=&0end{array}$$
Por tanto la ecuación implícita es $2x + 5y – 26 = 0$ y el vector $overrightarrow{v} = $-5, 2$$ es un vector director de la recta.
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