El Teorema Fundamental del Cálculo

El Teorema Fundamental del Cálculo $TFC$ establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el Cálculo diferencial y el Cálculo integral. El Cálculo diferencial surgió del problema de la recta tangente, mientras que el Cálculo integral surgió del problema del área. Isaac Newton $1630-1677$ descubrió que esos dos problemas se relacionan y se dio cuenta de que la integral y la diferencial son procesos inversos.

De manera informal, El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación y la integración $definida$ son operaciones inversas, en el mismo sentido que lo son la división y la multiplicación. Newton y Leibniz habrían pronosticado esta relación considerando aproximaciones, como lo muestra la siguiente figura; la pendiente de la recta tangente se definió utilizando el cociente $\Delta$y$/\Delta$x$$ $la pendiente de la recta secante$. De manera similar, el área de la región bajo la curva se definió usando el producto $\Delta$y$\Delta$x$$ $el área de un rectángulo$. De tal modo, al menos en una etapa de aproximación primitiva, las operaciones de derivación e integración definida parecen tener una relación inversa.

El teorema dice que la derivada de la integral de una función es la misma función. Es decir, si una función $f$x$$ es continua en el intervalo $[a,b]$, y $x$ es cualquier punto dentro del intervalo, se puede definir $F$x$$ como: $$F$x$ = \int_{a}^{x} f$t$ \,dt$$ entonces, de acuerdo al Teorema Fundamental del Cálculo: $$F’$x$ = f$x$$$ Así, la integral de $f$x$$ puede verse como la antiderivada o primitiva de esa función.

Teorema Fundamental del Cálculo

La importancia de este Teorema, al que en ocasiones se denomina Primer Teorema Fundamental del Cálculo, reside en dos aspectos:

• Relaciona las dos principales nociones del cálculo, derivación e integración, demostrando que son procesos inversos. Esto significa que, si se integra una función continua, al derivarla después se recupera la función original.
• Proporciona un método simple para resolver muchas de las integrales definidas.

De este Teorema se desprende el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo, conocido también como Regla de Barrow o Regla de Newton – Leibniz, que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Definición

Supongamos que la función $f$x$$ es continua en el intervalo $I$ que contiene al punto $a$., si $F$x$$ es una función primitiva de $f$x$$, es decir: $$F’$x$ = f$x$$$ entonces, tenemos que: $$\int_{a}^{b} f$x$ \,dx = F$b$ – F$a$$$

PARTE I. Si la función $F$ está definida en $I$: $$F$x$ = \int_{a}^{x} f$t$ \,dt \:\: \forall x \in [a,b]$$ Entonces $F$ es diferenciable en $I$, y $F’$x$ = f$x$$ en dicho intervalo. Por lo tanto, $F$ es una antiderivada $pimitiva$ de $f$ en $I$. $$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f$t$ \,dt = f$x$$$

La parte I trata de la derivada de una integral, nos indica cómo diferenciar una integral definida con respecto a su límite superior.

PARTE II. Si $G$x$$ es cualquier antiderivada $primitiva$ de $f$x$$ en $I$, de forma que $G’$x$ = f$x$$ en $I$ entonces $\forall b \in I$ se cumple: $$\int_{a}^{b} f$x$ \,dx = G$b$ \:-\: G$a$$$

La parte II considera la integral de una derivada, nos indica cómo calcular una integral definida si se puede obtener una primitiva del integrando.

Demostración del Teorema Fundamental del Cálculo

Utilizando la definición de derivada, podemos calcular.

$$\begin{eqnarray} F’$x$ &=& \lim_{h \to 0} \frac{F$x + h$ – F$x$}{h} \\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\left$ \int_{a}^{x+h} f$t$ \,dt \,- \int_{a}^{x} f$t$ \,dt \right$ \\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{x}^{x+h} f$t$ \,dt \\ &=& \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\,h\,f$c$ \\ &=& \lim_{c \to x} f$c$ \\ &=& f$x$ \end{eqnarray}$$

Estrategia para utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo

La siguiente guía puede ayudar a comprender el uso del teorema fundamental del cálculo.

1. Suponiendo que se conozca una antiderivada $primitiva$ $f$, se dispone de una forma de calcular una integral definida sin tener que utilizar el límite de la suma.
2. Cuando se aplica el teorema fundamental del cálculo en integrales definidas, la siguiente notación resulta conveniente, y se define como símbolo de evaluación. $$\int_{a}^{b} f$x$ \,dx = F$x$ \Big|_{a}^{b} = F$b$\:-\:F$a$$$ Por ejemplo. $$\int_{1}^{3} x^3 \,dx = \frac{x^4}{4} \Big]_{1}^{3} = \left$ \frac{3^4}{4} \:-\: \frac{1^4}{4} \right$ = \left$ \frac{81}{4} \:-\: \frac{1}{4} \right$ = 20$$
3. No es necesario incluir una constante de integración C en la antiderivada $primitiva$, ya que: $$\begin{eqnarray} \int_{a}^{b} f$x$ \,dx &=& \Big[ F$x$ + C \Big]_{a}^{b} \\ &=& \Big[ F$b$ + C \Big] – \Big[ F$a$ + C \Big] \\ &=& F$b$ \:-\: F$a$ \end{eqnarray}$$

Ejemplo 1.

Sea $f$x$ = \frac{1}{x}$, continua en el intervalo $[1,5]$ y $x$ un punto entre $1$ y $5$. Se puede definir: $F$x$ = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,dt$, entonces $$F’$x$ = \frac{d}{dx} \left$ \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \,dt \right$ = \frac{d}{dx} \left$ \ln x – \ln 1 \right$ = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$$ Como puede observarse, se cumple que: $$F’$x$ = f$x$$$

Ejemplo 2.

Dada $f$x$ = \cos$x$$, continua en el intervalo $[0,2\pi]$ y $x$ un punto del intervalo. Se puede definir: $F$x$ = \int_{0}^{x} \cos$t$ \,dt$, entonces $$F’$x$ = \frac{d}{dx} \left$ \int_{0}^{x} \cos$t$ \,dt \right$ = \frac{d}{dx} \left[ \sin$x$ – \sin$0$ \right] = \cos$x$$$ Como puede observarse, se cumple que: $$F’$x$ = f$x$$$

Ejemplo 3.

Dada $f$x$ = \sin$x$$, continua en el intervalo $[0,\pi]$, y además $F$x$ = – \cos$x$$ $antiderivada$, entonces $$\int_{0}^{\pi} f$x$ \,dx = F$\pi$ \:-\: F$0$$$ Evaluando la integral tenemos que $$\int_{0}^{\pi} \sin$x$ \,dx = -\cos$\pi$ – [-\cos$0$]$$ $$\Rightarrow -$-1$ \:-\: [-$1$] = 1 + 1 = 2$$

Ejemplo 4.

Si $f$x$ = \frac{dx}{x}$ es continua en el intervalo $[1,e]$ y además $F$x$ = \ln$x$$ $antiderivada$, entonces $$\int_{1}^{e} f$x$ \,dx = F$e$ \:-\: F$1$$$ Evaluando la integral tenemos que $$\int_{1}^{e} \frac{dx}{x} = \ln$e$ \:-\: \ln$1$ = 1 \:-\: 0 = 1$$

Ejemplo 5.

Evaluar la integral definida. $$\int_{1}^{2} $x^{2} – 3$ \,dx$$ Evaluando la integral tenemos que $$\int_{1}^{2} $x^{2} – 3$ \,dx = \Big[ \frac{x^3}{3} \:-\: 3x \Big]_{1}^{2} = \left$ \frac{8}{3} \:-\: 6 \right$ \:-\: \left$ \frac{1}{3} \:-\: 3 \right$ = -\, \frac{2}{3}$$