Propiedades de la integral definida

La definición de la integral definida de $f = \int_{a}^{b} f$x$\,dx$, en el intervalo $[a, b]$ especifica que implícitamente $a \lt b$. Ahora, es conveniente extender la definición para cubrir casos en los cuales $a = b$ o $a \gt b$. Geométricamente, las siguientes dos definiciones parecen razonables. Por ejemplo, tiene sentido definir el área de una región de ancho cero y una altura igual a 0.

Sin embargo, la definición como límite de Sumas de Riemann tiene sentido aun si $a \gt b$. Por lo que si se invierte el orden de $a$ y $b$, entonces $\Delta x$ cambia $$de\:\: \frac{b-a}{n} \Rightarrow \frac{a-b}{n} = – \left$\frac{b-a}{n} \right$$$

1. Si $f$ es integrable en $[a, b]$, entonces se define: $$\int_{a}^{b} f$x$ \,dx = – \int_{b}^{a} f$x$ \,dx$$
2. Si $f$ está definida en $x=a$, esto es $a = b$, entonces $\Delta x = 0$, y se define: $$\int_{a}^{a} f$x$ \,dx = 0$$

Sean $f$ y $g$ dos funciones continuas integrables en un intervalo que contiene a los puntos a, b y c, se definen las siguientes propiedades:

Evaluación de una integral definida

$$\int_{a}^{b} c \,dx = c$b-a$,\:\:donde\:c\:es\:cualquier\:constante$$ $1$

Dependencia lineal del integrando

$$\int_{a}^{b} [f$x$ + g$x$] \,dx = \int_{a}^{b} f$x$ \,dx + \int_{a}^{b} g$x$ \,dx$$$2$

$$\int_{a}^{b} [f$x$ \,- g$x$] \,dx = \int_{a}^{b} f$x$ \,dx \,- \int_{a}^{b} g$x$ \,dx$$ $3$

Integrando constantes

Si A y B son constantes, entonces:

$$\int_{a}^{b} $Af$x$ + Bg$x$$ \,dx = A\int_{a}^{b} f$x$ \,dx + B\int_{a}^{b} g$x$ \,dx$$ $4$

Propiedad aditiva de intervalos

$$\int_{a}^{b} f$x$ \,dx = \int_{a}^{c} f$x$ \,dx + \int_{c}^{b} f$x$ \,dx$$$5$

Conservación de desigualdades

Si $f$x$ \geq 0$ para $a \leq x \leq b$, entonces $$1. \int_{a}^{b} f$x$ \,dx \geq 0$$ Si $f$x$ \geq g$x$$ para $a \leq x \leq b$, entonces $$2. \int_{a}^{b} f$x$ \,dx \geq \int_{a}^{b} g$x$ \,dx$$ Si $m \leq f$x$ \leq M$ para $a \leq x \leq b$, entonces $$3.\:\:m$b-a$ \leq \int_{a}^{b} f$x$ \,dx \leq M$b-a$$$

Teorema: Si $f$ es una función integrable y $f$x$ \geq 0$ para todo $x$ en el intervalo $[a,b]$, entonces el área $A$ de la región bajo la gráfica de $f$ es: $$A = \int_{a}^{b} f$x$ \,dx$$