Fuerzas y M.C.U. en Curvas Planas y Curvas Peraltadas

A lo largo de este apartado vamos a estudiar la velocidad y las fuerzas que intervienen en el caso de que un cuerpo de masa m, tome una curva plana $sin ángulo de inclinación$ o peraltada $con cierto ángulo de inclinación$, ambas de radio R a velocidad constante, es decir, describiendo un movimiento circular uniforme $m.c.u.$.

Curva plana

En este caso particular, nos encontramos con las siguientes premisas:

• Como el cuerpo describe un m.c.u., este posee aceleración normal orientada hacia el centro de la curva y por tanto debe sufrir la acción de una fuerza que origine dicha aceleración: la fuerza centrípeta.
• La fuerza centrípeta que obliga a cambiar la dirección del movimiento es la fuerza de rozamiento.
• Adicionalmente en el cuerpo intervienen la fuerza normal y su peso.

Aplicando el principio fundamental o segunda ley de Newton a la resultante de las fuerzas de cada eje de coordenadas, y sabiendo que como no se mueve a lo largo del eje x $$a_{y}=0, a_{x}=a_{n}$$, obtenemos que: $$\frac{?F_{x}=m·a_{x}}{?F_{y}=m·a_{y}} ?\frac{F_{R}=m·a_{x}}{N-P=m·a_{y}} ?\frac{?·N=m·\frac{v^{2}}{R}}{N=m·g}??·m·g=m·\frac{v^{2}}{R} ?v=\sqrt{?·g·R}$$

Este valor de v, se trata del valor de velocidad máxima que puede alcanzar el cuerpo sin derrapar.

Curva peraltada

Al igual que en el apartado anterior, vamos a analizar el movimiento:

• Es parecido al caso de la curva plana, pero en esta ocasión la curva posee un ángulo A de inclinación.
• Sigue describiéndose un m.c.u. y por tanto, el cuerpo posee aceleración normal y fuerza centrípeta.
• Iguamente siguen interviniendo la fuerza normal, el peso y la fuerza de rozamiento.
• La fuerza normal por definición es perpendicular a la superficie y por tanto, no coincide con el eje de coordenadas, por lo que se puede descomponer en dos fuerzas $N_{x}$ y $N_{y}$.
• La fuerza de rozamiento es perpendicular a la superficie, y por tanto no coincide con nuestro sistema de referencia, por lo que podemos descomponerlo en dos fuerzas $FR_{x}$ y $FR_{y}$.
• En esta ocasión la fuerza centrípeta es la suma de la fuerza de rozamiento y la fuerza normal en el eje x.

Aplicando la segunda ley de Newton, y sabiendo que como no se mueve a lo largo del eje x $$a_{y}=0, a_{x}=a_{n}$$, obtenemos que: $$\frac{?F_{x}=m·a_{x}}{?F_{y}=m·a_{y}} ?\frac{FR_{x}+N_{x}=m·a_{x}}{N_{y}-FR_{y}-P=m·a_{y}} ?\frac{?·N·cos$?$+N·sin$?$=m·\frac{v^{2}}{R}}{N·cos$?$-?·N·sin$?$-m·g=0}?\frac{N·?·cos$?$+sin$?$=m·\frac{v^{2}}{R}}{N=\frac{m·g}{cos$?$-?·sin$?$}}$$

Sustituyendo el valor de N de la segunda ecuación en la primera, y despejando v: $$v=\sqrt{g·R·\frac{sin$?$+?·cos$?$}{cos$?$-?·sin$?$}}$$

Este valor de v, se trata del valor de velocidad máxima que puede alcanzar el cuerpo sin derrapar.

Ejemplo

Un vehículo circula sobre una curva peraltada de 60 m de radio. Suponiendo que no existe fuerza de rozamiento, ¿Cuál debe ser el ángulo de peralte, para que el vehículo pueda tomar la curva a 60 km/h sin derrapar?

Solución

Datos

$R = 60 m$

\FR = 0 N$

\v = 60 km/h = 16.67 m/s$

\? = ?$

Resolución

Si realizamos el diagrama de las fuerzas que intervienen en el movimiento, descubrimos que:

Aplicando el principio fundamental o segunda la ley de Newton para cada uno de los ejes de coordenadas, sabiendo que solo existe aceleración en el eje x $$a_{y}=0, a_{x}=a_{n}$$, obtenemos:

Eje X $$?F_{x} = m · a_{n} ? N_{x} = m · a_{n} ? N · sin$?$ = m · \frac{v^{2}}{R}$$

Eje Y $$?F_{y} = 0 ? N_{y} – P = 0 ? N · cos$?$ = m · g$$

Si dividimos ambas expresiones miembro a miembro, conseguimos que: $$\frac{N · sin?}{N · cos$?$} = \frac{m · \frac{v^{2}}{R}}{m · g} ?$$ $$\frac{sin$?$}{cos$?$ = \frac{v^{2}}{g · R}} ?$$ $$tan$?$ = \frac{16.67^{2}}{9.8-60} ?$$ $$tan$?$ = 0.47 ?$$