Intersección de una circunferencia y una recta

Vamos a estudiar las posiciones relativas en que pueden encontrarse en un mismo plano una recta y una circunferencia.

Para ello daremos nombre a varios puntos, rectas y segmentos que son singulares en la circunferencia:

• Centro, es un punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia.
• Radio, es la distancia desde el centro a un punto de la circunferencia.
• Cuerda, es el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros.
• Recta secante, es la que corta a la circunferencia en dos puntos.
• Recta tangente, es la que toca a la circunferencia en un sólo punto.
• Punto de tangencia, es el de contacto de la tangente con la circunferencia.

Para hallar los puntos comunes a una circunferencia y una recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de ambas.
Es decir, si tenemos:

• la circunferencia dada por la ecuación $$x-a$^2+$y-b$^2=r^2$ o bien por la ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0$
• la recta dada por la ecuación general de una recta: $y-y_0=m \cdot $x-x_0$$

Lo que debemos resolver es uno de los dos sistemas siguientes $dependiendo de como nos venga dada la circunferencia$:
$$\left\{{\begin{array}{l} {$x-a$^2+$y-b$^2=r^2} \\ {y-y_0=m \cdot $x-x_0$}\end{array}}\right. \mbox{ or } \left\{{\begin{array}{l} {x^2+y^2+Ax+By+C=0} \\ {y-y_0=m \cdot $x-x_0$}\end{array}}\right.$$

Dado que si se tiene la ecuación reducida de la circunferencia desarrollando los cuadrados se consigue la ecuación general, siempre sabemos plantear el problema de manera que el sistema a resolver será:
$$\left\{{\begin{array}{l} {x^2+y^2+Ax+By+C=0} \\ {y-y_0=m \cdot $x-x_0$}\end{array}}\right.$$
Aislando por ejemplo la $y$ en la ecuación de la recta obtenemos:
$$y=y_0+m \cdot$x-x_0$$$
y sustituyendo esta expresión en la ecuación general de la circunferencia obtenemos:
$$x^2+$y_0+m \cdot $x-x_0$$^2+Ax+B$y_0+m \cdot $x-x_0$$+C=0$$
que si juntamos oportunamente nos da:
$$\begin{array}{l} x^2+$y_0+m \cdot $x-x_0$$^2+Ax+B$y_0+m \cdot $x-x_0$$+C=0 \\ x^2+y_0^2+2\cdot y_0 \cdot m \cdot x -2 \cdot y_0 \cdot m \cdot x_0+m^2\cdot $x-x_0$^2+ \\ \ \ \ +Ax+By_0+B \cdot m \cdot x – B \cdot m \cdot x_0+C=0 \\ x^2+m^2 \cdot x^2+2 \cdot y_0 \cdot m \cdot x-2 \cdot m^2 \cdot x \cdot x_0+Ax +B \cdot m \cdot x+ \\ \ \ \ +y_0^2 -2 \cdot y_0 \cdot m \cdot x_0 + B \cdot y_0 – B \cdot m \cdot x_0 + m^2 \cdot x_0^2 +C=0 \\ x^2$1+m^2$+x$2 \cdot y_0 \cdot m-2 \cdot m^2 \cdot x_0 +A+B \cdot m$+\\ \ \ \ +y_0^2 -2 \cdot y_0 \cdot m \cdot x_0 + B \cdot m \cdot x_0 +m^2 \cdot x_0^2 + C=0 \end{array}$$

que es una ecuación de segundo grado en la variable $x$.

Dado que en general se obtiene un ecuación de segundo grado, ésta tendrá, dependiendo del signo del discriminante $$\Delta=b^2-4ac$$, las siguientes soluciones:

• Si $\Delta> 0$ Dos soluciones: entonces la recta y la circunferencia son secantes.
• Si $\Delta = 0$ Una solución: entonces la recta y la circunferencia son tangentes.
• Si $\Delta< 0$

Véanse en el siguiente dibujo algunas de las posibilidades: