Invariantes euclidianos de las cónicas

A partir de ahora, supondremos que $overline{a}$ y $A$ son la matriz proyectiva y la matriz al infinito, referidas a coordenadas rectangulares $$x, y$$, de la ecuación de una cónica.

Invariantes relativos y absolutos

$$begin{array}{c}D_3=det overline {A}\ D_2=ac+af+cf-$b^2+d^2+e^2$ \ d_2=det A=ac-b^2\ d_1=Tr A=a+cend{array}$$
a estos valores se los conocen por invariantes euclídeos.

La determinación de la especie de una cónica a partir de los invariantes se puede obtener mediante la tabla siguiente:

A continuación vamos a dar unas aplicaciones de los invariantes euclídeos:

• Obtención de las ecuaciones reducidas: La ecuación reducida de las cónicas del tipo centrado es:
  $$displaystyle lambda_1x^2+lambda_2y^2+frac{D_3}{d_2}=0$$
  La ecuación canónica de una parábola es:
  $$displaystyle x^2+2sqrt{-frac{D_3}{d_1^3}}y=0$$
  Finalmente, la ecuación reducida de las rectas paralelas es: $$displaystyle x^2+frac{D_2}{d_1^2}$$
• Área de la elipse: El área del elipse se puede calcular mediante la fórmula:
  $$displaystyle A=pi sqrt{frac{D_3^2}{d_2^3}}$$
• Ángulo de las asíntotas de una hipérbola: El ángulo que forman las asíntotas de una hipérbola, o un par de rectas, se puede determinar mediante la fórmula
  $$displaystyle cos^2 alpha =frac{d_1^2}{d_1^2-4d_2}$$

Ejemplo