Notación de las sucesiones

3.1 Sucesiones

3.1.2 Notación de las sucesiones

La sucesión $\{ a_{1}, a_{2}, a_{3} \}$ puede escribirse como $\{ a_{n} \}_{n=1}^{\infty} \,\, o \,\, \{ a_{n} \}$.

Hay sucesiones que se definen en dependencia del n-ésimo término, a continuación, se presenta un ejemplo variando la notación.

Ejemplo 1. Variación de las notaciones.

• • Como función: $a$n$ = \displaystyle\frac{$-1$^n$2n-1$}{2^n}$

• • Por medio del término n-ésimo: $a_{n} = \displaystyle\frac{$-1$^n$2n-1$}{2^n}$

• • Sucesión implícita, con su término n-ésimo: $\bigg\{ \displaystyle\frac{$-1$^n$2n-1$}{2^n} \bigg\}$

• Sucesión explicita, indicando todos los términos: $\displaystyle\bigg\{ -\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, -\frac{5}{8}, \frac{7}{16}, … , \frac{$-1$^n$2n-1$}{2^n} \bigg\}$

Cualquier expresión que se usa para definir una función real se puede emplear para una sucesión, de modo que se pueden usar todas las operaciones como son: suma, diferencia, producto, cociente, potencia, etc. y cualquier función como son las algebraicas y las trascendentes, aunque se tiene que en sucesiones se usa $$-1$^n$ el cual es un factor que no se emplea en funciones reales. Son sucesiones las siguientes: $$a$n$ = \sqrt{n}, \bigg\{ \frac{1}{n} \bigg\}, a_{n} = $-1$^{n+1} \frac{1}{n}, \{3\}, \bigg\{ \frac{n-1}{n} \bigg\} \; y \; \bigg\{ $-1$^{n-1} \frac{n-1}{n} \bigg\}$$ En sucesiones, una función constante como la que se tiene acontinuación, en variable real no representa solo a un número, sino que nos indica que para cada número entero positivo la función natural toma ese valor, por lo tanto: $$f$x$ = 5$$ $$\{ 5 \} = \{5, 5, 5, 5, …, 5, … \}$$

Ejemplo 2. Sucesiones

Determinar una expresión para el término general $a_{n}$ de la sucesión, suponiendo que el patrón de los primeros términos continua… $$\bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, … \bigg\}$$ La forma que tienen los elementos de la sucesión son fracciones con numerador fijo $1$ y con denominador que varía, los denominadores son $2,4,8,16,…$ , los números en los denominadores son las potencias de $2$, luego entonces: $$\bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, … \bigg\} = \bigg\{ \frac{1}{2^n} \bigg\}$$

Ejemplo 3. Sucesiones

Determinar una expresión para el término general $a_{n}$ de la sucesión, suponiendo que el patrón de los primeros términos continua… $$\bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, … \bigg\}$$ La forma que tienen los elementos de la sucesión son fracciones con numerador fijo $1$ y con denominador que varía, los denominadores son $2,4,6,8,…$ , los números en los denominadores son múltiplos de $2$, luego entonces: $$\bigg\{ \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, … \bigg\} = \bigg\{ \frac{1}{2n} \bigg\}$$