Para determinar las posiciones relativas de una recta $r $A’; overrightarrow{v}$$ y un plano $pi$P;overrightarrow{u},overrightarrow{v}$$, expresamos la recta mediante sus ecuaciones implícitas y el plano con su ecuación general:
$$r: left{begin{array} {rcl} A_1x+B_1y+C_1z+D_1 & = & 0 \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2 &=& 0 end{array}right. \ pi: Ax+By+Cz+D=0$$
A continuación consideramos el sistema formado por las tres ecuaciones y escribimos la matriz $M$ y la matriz ampliada $M’$ asociadas a este sistema:
$$M=begin{pmatrix} A & B & C \ A_1 & B_1 & C_1 \ A_2 & B_2 & C_2 end{pmatrix}$$
$$M’=begin{pmatrix} A & B & C & -D \ A_1 & B_1 & C_1 & -D_1\ A_2 & B_2 & C_2 & -D_2 end{pmatrix}$$
Según la compatibilidad del sistema tendremos una posición relativa u otra:
Sistema Compatible
Determinado
$rango$M$ = rango$M’$ = 3$
Sistema Compatible determinado. La recta y el plano son secantes.
Indeterminado
$rango $M$ = rango $M’$ = 2$
Sistema compatible indeterminado. Las soluciones dependen de un parámetro. La recta está contenida en el plano.
Sistema Incompatible
$rango $M$ = 2 neq rango $M’$ = 3$
Sistema incompatible. La recta y el plano son paralelos.
Ejemplo
Determina la posición relativa de la recta $r: $x, y, z$ = $2,-1, 0$ + k cdot $1, 2, 1$$ y el plano $ pi: $x, y, z$ = $5, 0, 0$ + l cdot $3, 0, 1$ + m cdot $4,-1, 1$$
Empezamos considerando la matriz cuyas columnas son las componentes de los tres vectores directores $2 del plano y 1 de la recta$ y encontramos su rango:
$$ |M| = left|begin{matrix} 1 & 3&4 \ 2 & 0 & -1 \ 1 & 1 & 1 end{matrix}right|=0$$
Por tanto $rango $M$ = 2$, y la recta estará contenida o será paralela al plano.
Para ver en que caso estamos, podemos coger un punto de la recta $P$ y mirar si pertenece al plano $pi$.
$$P=$2,-1,0$$$
Sustituimos en $pi$:
$$begin{array}{rcl}2 &=& 5 + 3 cdot l +4 cdot m\ -1 &=& -m \ 0 & =& l+mend{array}$$
Por tanto $m = 1, l =-1$, y vemos que el punto no cumple.
Así, la recta y el plano son paralelos.
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