Introduction to Applied Linear Algebra – Stephen P. Boyd, Lieven Vandenberghe – 1st Edition

Descripción

Este libro está destinado a proporcionar una introducción a los métodos de vectores, matrices y mínimos cuadrados, temas básicos en álgebra lineal aplicada. Nuestro objetivo es brindar al estudiante principiante, con poca o ninguna exposición previa al álgebra lineal, una buena base en las ideas básicas, así como una apreciación de cómo se utilizan en muchas aplicaciones, incluido el ajuste de datos, el aprendizaje automático y la inteligencia artificial. , tomografía, navegación, procesamiento de imágenes, finanzas y sistemas de control automático. La formación requerida del lector es la familiaridad con la notación matemática básica. Usamos el cálculo en unos pocos lugares, pero no juega un papel crítico y no es un requisito previo estricto. Aunque el libro cubre muchos temas que tradicionalmente se enseñan como parte de la probabilidad y la estadística, como el ajuste de modelos matemáticos a los datos, no se necesita ningún conocimiento o experiencia previa en probabilidad y estadística.

El libro cubre menos matemáticas que un texto típico sobre álgebra lineal aplicada. Usamos solo un concepto teórico del álgebra lineal, la independencia lineal, y solo una herramienta computacional, la factorización QR, nuestro enfoque para la mayoría de las aplicaciones se basa en un solo método, mínimos cuadrados (o alguna extensión). En este sentido, nuestro objetivo es la economía intelectual: con solo unas pocas ideas, conceptos y métodos matemáticos básicos, cubrimos muchas aplicaciones. Sin embargo, las matemáticas que presentamos son completas, ya que justificamos cuidadosamente cada enunciado . Sin embargo, a diferencia de la mayoría de los textos introductorios de álgebra lineal, describimos muchas aplicaciones, incluidas algunas que normalmente se consideran temas avanzados, como clasificación de documentos, control, estimación de estado y optimización de cartera. El libro no requiere ningún conocimiento de programación informática, y puede utilizarse como un libro de texto convencional, leyendo los capítulos y trabajando los ejercicios que no impliquen cálculo numérico.

Sin embargo, este enfoque pierde una de las razones más convincentes para aprender el material: puede usar las ideas y los métodos descritos en este libro para hacer cosas prácticas como construir un modelo de predicción a partir de datos, mejorar imágenes u optimizar una cartera de inversiones. El poder creciente de las computadoras, junto con el desarrollo de paquetes y lenguajes informáticos de alto nivel que soportan el cálculo vectorial y matricial, han facilitado el uso de los métodos descritos en este libro para aplicaciones reales. Por esta razón, esperamos que todos los estudiantes de este libro complementen su estudio con ejercicios y proyectos de programación de computadoras, incluidos algunos que involucren datos reales. Este libro incluye algunos ejercicios genéricos que requieren cálculo, los adicionales y los archivos de datos asociados y los recursos específicos del idioma están disponibles en línea. X Prefacio Si lee todo el libro, trabaja algunos de los ejercicios y realiza ejercicios de computadora para implementar o usar las ideas y métodos, aprenderá mucho. Si bien todavía tendrá mucho que aprender, habrá visto muchas de las ideas básicas detrás de la moderna y otras áreas de aplicación. Esperamos que esté facultado para utilizar los métodos para sus propias aplicaciones.

El libro está dividido en tres partes. La Parte I presenta al lector los vectores y varias operaciones y funciones vectoriales como la suma, el producto interior, la distancia y el ángulo. También describimos cómo se utilizan los vectores en aplicaciones para representar recuentos de en un documento, series temporales, atributos de un paciente, ventas de un producto, una pista de audio, una imagen o una cartera de inversiones. La Parte II hace lo mismo con las matrices, culminando con matrices inversas y métodos para resolver ecuaciones lineales. La Parte III, sobre mínimos cuadrados, es la recompensa, al menos en términos de las aplicaciones. Mostramos cómo la idea simple y natural de resolver aproximadamente un conjunto de ecuaciones sobredeterminadas, y algunas extensiones de esta idea básica, pueden usarse para resolver muchos prácticos. El libro completo se puede cubrir en un curso de 15 semanas (semestre), un curso de 10 semanas (trimestre) puede cubrir la mayor parte del material, saltándose algunas aplicaciones y quizás los dos últimos capítulos sobre mínimos cuadrados no lineales.

El libro también se puede utilizar para el autoaprendizaje, complementado con material disponible en línea. Por diseño, el ritmo del libro se acelera un poco, con muchos detalles y ejemplos simples en las partes I y II, y ejemplos y aplicaciones más avanzados en la parte III. Un curso para estudiantes con poca o ninguna experiencia en álgebra lineal puede enfocarse en las partes I y II, y cubrir solo algunas de las aplicaciones más avanzadas en la parte III. Un curso más avanzado sobre álgebra lineal aplicada puede cubrir rápidamente las partes I y II como repaso y luego enfocarse en las aplicaciones de la parte III, así como en temas adicionales. Agradecemos a muchos de nuestros colegas, asistentes de enseñanza y estudiantes por sus útiles sugerencias y debates durante el desarrollo de este libro y los cursos asociados. Agradecemos especialmente a nuestros colegas Trevor Hastie, Rob Tibshirani y Sanjay Lall, así como a Nick Boyd.

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  • Preface
    I Vectors
    1 Vectors
    1.1 Vectors
    1.2 Vector addition
    1.3 Scalar-vector multiplication
    1.4 Inner product
    1.5 Complexity of vector computations
    Exercises

    2 Linear functions
    2.1 Linear functions
    2.2 Taylor approximation
    2.3 Regression model
    Exercises

    3 Norm and distance
    3.1 Norm
    3.2 Distance
    3.3 Standard deviation
    3.4 Angle
    3.5 Complexity
    Exercises

    4 Clustering
    4.1 Clustering
    4.2 A clustering objective
    4.3 The k-means algorithm
    4.4 Examples
    4.5 Applications
    Exercises
    vi Contents

    5 Linear independence
    5.1 Linear dependence .
    5.2 Basis
    5.3 Orthonormal vectors
    5.4 Gram–Schmidt algorithm
    Exercises .
    II Matrices

    6 Matrices
    6.1 Matrices
    6.2 Zero and identity matrices
    6.3 Transpose, addition, and norm
    6.4 Matrix-vector multiplication
    6.5 Complexity
    Exercises

    7 Matrix examples
    7.1 Geometric transformations
    7.2 Selectors
    7.3 Incidence matrix
    7.4 Convolution
    Exercises .

    8 Linear equations
    8.1 Linear and affine functions
    8.2 Linear function models
    8.3 Systems of linear equations
    Exercises

    9 Linear dynamical systems
    9.1 Linear dynamical systems
    9.2 Population dynamics .
    9.3 Epidemic dynamics
    9.4 Motion of a mass
    9.5 Supply chain dynamics
    Exercises

    10 Matrix multiplication
    10.1 Matrix-matrix multiplication
    10.2 Composition of linear functions
    10.3 Matrix power
    10.4 QR factorization
    Exercises

    11 Matrix inverses
    11.1 Left and right inverses
    11.2 Inverse
    11.3 Solving linear equations
    11.4 Examples
    11.5 Pseudo-inverse
    Exercises
    III Least squares

    12 Least squares
    12.1 Least squares problem
    12.2 Solution
    12.3 Solving least squares problems
    12.4 Examples
    Exercises

    13 Least squares data fitting
    13.1 Least squares data fitting
    13.2 Validation
    13.3 Feature engineering
    Exercises

    14 Least squares classification
    14.1 Classification
    14.2 Least squares classifier
    14.3 Multi-class classifiers
    Exercises

    15 Multi-objective least squares
    15.1 Multi-objective least squares
    15.2 Control
    15.3 Estimation and inversion
    15.4 Regularized data fitting
    15.5 Complexity
    Exercises

    16 Constrained least squares
    16.1 Constrained least squares problem
    16.2 Solution
    16.3 Solving constrained least squares problems
    Exercises

    17 Constrained least squares applications
    17.1 Portfolio optimization
    17.2 Linear quadratic control
    17.3 Linear quadratic state estimation
    Exercises

    18 Nonlinear least squares
    18.1 Nonlinear equations and least squares
    18.2 Gauss–Newton algorithm
    18.3 Levenberg–Marquardt algorithm
    18.4 Nonlinear model fitting
    18.5 Nonlinear least squares classification
    Exercises

    19 Constrained nonlinear least squares
    19.1 Constrained nonlinear least squares
    19.2 Penalty algorithm
    19.3 Augmented Lagrangian algorithm .
    19.4 Nonlinear control
    Exercises

    Appendices
    A Notation
    B Complexity
    C Derivatives and optimization
    C.1 Derivatives
    C.2 Optimization
    C.3 Lagrange multipliers
    D Further study
    Index
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