Un Curso de Geometría Diferencial: Teoría, Problemas, Soluciones y Prácticas con Ordenador – María de los Ángeles Hernández Cifre, José Antonio Pastor González – 1ra Edición

Sumario

Prólogo

Introducción

Terminología básica

Capítulo I – Curvas en el plano y en el espacio

1.1. Curvas parametrizadas. La longitud de arco

• El cambio de parámetro y la longitud de arco

1.2. Teoría local de curvas planas

• La curvatura y el triedro de Frenet
• Teorema fundamental de la teoría local de curvas planas
• Evolutas, involutas y curvas paralelas
• Comparación de dos curvas en un punto

1.3. Teoría local de curvas en el espacio

• La curvatura, la torsión y el triedro de Frenet
• Teorema fundamental de la teoría local de curvas en R³

1.4. Teoría global de curvas planas

• Curvas convexas
• La desigualdad isoperimétrica

Ejercicios

Capítulo II – Las superficies regulares

2.1. Definición de superficie

• Criterios prácticos para la determinación de superficies
• Propiedades de las superficies regulares
• El cambio de coordenadas

2.2. Funciones diferenciables definidas en superficies

• Aplicaciones diferenciables definidas entre superficies
• Difeomorfismos entre superficies

2.3. El plano tangente

2.4. La diferencial de una aplicación entre superficies

• La diferencial de una función real en una superficie
• La diferencial de una aplicación entre superficies

2.5. La primera forma fundamental

• Aplicaciones de la primera forma fundamental
• Midiendo longitudes
• Midiendo ángulos
• Midiendo áreas

Ejercicios

Capítulo III – El teorema Egregium de Gauss

3.1. Orientación de superficies

• Otra forma de estudiar la orientabilidad
• La estructura compleja de una superficie
• Bases positivas y negativas
• Sobre la orientabilidad en este texto

3.2. La segunda forma fundamental

3.3. La aceleración de una curva: curvaturas geodésica y normal

• La curvatura geodésica
• La curvatura normal
• Interpretación geométrica de la curvatura normal

3.4. Las curvaturas principales

• Puntos umbilicales

3.5. Expresión local de la segunda forma fundamental, K y H

3.6. La geometría de la curvatura de Gauss

3.7. Isometrías locales

3.8. El teorema Egregium de Gauss

• Las fórmulas de Gauss y Weingarten
• Ecuaciones de compatibilidad

3.9. Aplicaciones conformes e isoareales. Cartografía

Ejercicios

Capítulo IV – Integración en superficies. Las superficies minimales

4.1. Una aproximación intuitiva al concepto de área

4.2. Integración de funciones

4.3. Las superficies minimales: un poco de historia

4.4. Las distintas definiciones de superficie minimal

• Las superficies minimales como puntos críticos del área
• La aplicación de Gauss de una superficie minimal
• Parametrizaciones isotermas

4.5. Primeros ejemplos de superficies minimales

Ejercicios

Capítulo V – Geodésicas en superficies

5.1. La derivada covariante y el transporte paralelo

• Campos de vectores paralelos
• El transporte paralelo

5.2. Geodésicas

• Existencia y unicidad de geodésicas
• La curvatura geodésica

5.3. La aplicación exponencial

• El lema de Gauss
• Coordenadas normales
• Coordenadas geodésicas polares

Ejercicios

Capítulo VI – El teorema de Gauss-Bonnet

6.1. Teorema de Gauss-Bonnet (versión local)

• Ángulo de rotación de una curva plana
• Holonomía
• La curvatura geodésica en una parametrización ortogonal
• Teorema de Green
• Teorema de Gauss-Bonnet (versión local)

6.2. Teorema de Gauss-Bonnet (versión global)

• Triangulaciones y característica de Euler-Poincaré
• Teorema de Gauss-Bonnet (versión global)

6.3. Consecuencias del teorema de Gauss-Bonnet

• Aplicación a la geometría clásica

Ejercicios

Capítulo VII – Geometría diferencial global

7.1. Las fórmulas de variación

• Primera fórmula de variación para la longitud de arco
• Segunda fórmula de variación para la longitud de arco

7.2. Completitud. El teorema de Hopf-Rinow

• Distancia intrínseca en una superficie
• El teorema de Hopf-Rinow
• Consecuencias del teorema de Hopf-Rinow
• El teorema de Bonnet

7.3. El teorema de rigidez de la esfera

Ejercicios

Apéndices

Apéndice A: Curvas – Prácticas con Mathematica

• Geometría diferencial de curvas planas
• Curvatura y longitud de arco
• Representación gráfica de curvas
• Curvas planas clásicas
• Gráficas de funciones definidas a trozos
• Generación dinámica de curvas
• Evolutas y curvas paralelas
• Curvas en el espacio: representación, triedro de Frenet, curvatura y torsión

Apéndice B: Superficies – Prácticas con Mathematica

• Ejemplos de superficies
• Superficies de revolución
• Superficies no orientables
• Superficies minimales
• Curvatura de Gauss y media
• Geodésicas

Apéndice C: Soluciones a los ejercicios

• Soluciones Capítulo I
• Soluciones Capítulo II
• Soluciones Capítulo III
• Soluciones Capítulo IV
• Soluciones Capítulo V
• Soluciones Capítulo VI
• Soluciones Capítulo VII

Bibliografía

Índice terminológico