Apuntes de Cálculo Numérico: Con Aplicaciones Sobre Euler Math Toolbox – Sebastián A. Hernández – 1ra Edición

1. Conceptos Básicos del Cálculo Numérico
1.1. Estimación de errores 6
1.1.1. Error relativo y absoluto 7
1.1.2. Redondeo y truncamiento 8
1.2. Sistemas Numéricos en PC 8
1.2.1. El sistema posicional 8
1.2.2. Conversión entre sistemas de numeración 9
1.2.3. Punto fijo y punto flotante 11
1.3. Precisión y redondeo de errores
1.3.1. Aritmética de punto flotante 12
1.3.2. Suma compensada 13
1.3.3. Evitando el overflow 14
1.3.4. Precisión de máquina 15
1.4. Propagación de errores y número de condición 15
1.4.1. Número de condición 17
1.5. Ejercicios

2. Resolución de Ecuaciones No Lineales
2.1. Método de Bisección 24
2.2. Método de Punto Fijo 29
2.3. Método de Newton-Raphson 33
2.4. Método de la Secante 36
2.5. Método de Regula-Falsi 39
2.6. Análisis de convergencia 39
2.7. Fallos en la aplicación de los métodos iterativos 43
2.7.1. Divergencia en Punto Fijo 43
2.7.2. Fallas en Newton-Raphson 44
2.8. Ejercicios

3. S.E.L. - Métodos Directos
3.1. Conceptos básicos. 49
3.1.1. Unicidad de las soluciones 49
3.1.2. Normas vectoriales y matriciales 50
3.1.3. Condicionamiento de matrices 53
3.2. Eliminación gaussiana 56
3.3. Descomposición LU 60
3.3.1. Descomposición de Doolittle
3.3.2. Descomposición de Crout 62
3.4. Ejercicios

4. S.E.L. - Métodos It
APUNTES DE CÁLCULO NUMERICO | con aplicaciones sobre EulerMath Toolbox | S. Hernández
3.3.2. Descomposición de Crout 62
3.4. Ejercicios 63

4. S.E.L. - Métodos Iterativos- 68
4.1. Consideraciones generales 68
4.1.1. Método de Jacobi o de Iteraciones simultáneas 71
4.1.2. Método de Gauss-Seidel o de Iteraciones sucesivas 72
4.1.3. Sobre la matriz de iteración 73
4.2. Control de los métodos iterativos 74
4.3. Condiciones de convergencia y terminación 75
4.4. Refinamiento iterativo 75
4.5. Ejercicios

5. Autovalores
5.1. Introducción 81
5.2. Teoremas de Gerschgorin 83
5.3. Métodos de la potencia 84
5.3.1. Aproximación del autovalor dominante 85
5.3.2. Aproximación del autovalor mínimo 86
5.3.3. Problemas de implementación 88
5.4. Ejercicios

6. Sistemas de Ecuaciones No L
6.1. Método multimensional de Punto fijo 96
6.2. Método multidimensional de Newton-Raphson 100
6.2.1. Condiciones de convergencia 102
6.3. Análisis de convergencia 103
6.4. Ejercicios 103

7. Interpolación
7.1. Interpolación polinómica 109
7.1.1. Forma normal 110
7.1.2. Interpolación de Lagrange 110
7.1.3. Interpolación de Newton 112
7.1.4. Interpolación de Neville 114
7.1.5. Limitaciones de la interpolación polinómica 116
7.2. Interpolación segmentaria 116
7.2.1. Splines lineales 117
7.2.2. Splines cúbicos 118
7.2.3. Splines de Hermite 121
7.3. Ejercicios

8. Ajuste de Datos
8.1. Mínimos cuadrados 128
8.2. Ajuste polinomial por mínimos cuadrados 129
8.2.1. índice de determinación 132
8.3. Ajuste discreto por mínimos cuadrados 132
8.3.1. Linealización de funciones habituales 135
8.4. Ajuste funcional por mínimos cuadrados 135
8.5. Aproximación Minimax 140
8.5.1. Algoritmo de Remez 141
8.6. Ejercicios

9. Derivación Numérica
APUNTES DE CÁLCULO NUMERICO | con aplicaciones sobre EulerMath Toolbox | S. Hernández
8.3. Ajuste discreto por mínimos cuadrados 132
8.3.1. Linealización de funciones habituales 135
8.4. Ajuste funcional por mínimos cuadrados 135
8.5. Aproximación Minimax 140
8.5.1. Algoritmo de Remez 141
8.6. Ejercicios 144

9. Derivación Numérica - 149
9.1. Aproximación de derivadas por diferencias finitas 149
9.1.1. Primera aproximación por diferencias centrales 150
9.1.2. Primera aproximación por diferencias no centrales 151
9.1.3. Segunda aproximación por diferencias no centrales 152
9.2. Extrapolación de Richardson 153
9.2.1. Expresiones de derivadas por extrapolación 156
9.3. Errores en las aproximaciones finitas 157
9.4. Ejercicios

10.Integración Numerica
10.1. Integrandos expansibles por series 162
10.2. Métodos de paso finito 163
10.2.1. Método del rectángulo 164
10.2.2. Método del trapecio 167
10.2.3. Método de Simpson 169
10.3. Métodos de cuadratura 172
10.3.1. Cuadratura de Newton-Cotes 172
10.3.2. Cuadratura de Gauss 176
10.3.3. Cuadratura de Chebyshev 181
10.4. Ejercicios

11.Resolución Numérica de EDO
11.1. Métodos Básicos 191
11.1.1. Campos direccionales e isóclinas 191
11.1.2. Métodos de Eulery Crank-Nicolson 193
11.1.3. Métodos Runge-Kutta 197
11.2. Resolución por Derivación 203
11.2.1. Series de Taylor 203
11.2.2. Fórmulas de Diferenciación hacia Atrás 206
11.3. Resolución por Integración Numérica 209
11.3.1. Métodos de Adams-Bashforth 210
11.3.2. Métodos de Adams-Moulton 216
11.4. Ecuaciones Diferenciales Rígidas 219
11.5. Ejercicios
Solución de los ejercicios de número i
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