Differential Geometry of Curves and Surfaces – Manfredo P. do Carmo – 1st Edition

Este libro es una introducción a la geometría diferencial de curvas y superficies, tanto en su aspecto local como global. La presentación se diferencia de las tradicionales por un uso más extenso del álgebra lineal elemental y por un cierto énfasis puesto en hechos geométricos básicos, más que en maquinaria o detalles aleatorios.

Hemos intentado construir cada capítulo del libro en torno a una idea simple y fundamental. Así, el Capítulo 2 se desarrolla en torno al concepto de superficie regular en R3, cuando este concepto se desarrolla adecuadamente, probablemente sea el mejor modelo para variedades diferenciables. El Capítulo 3 está construido sobre el mapa normal de Gauss y contiene una gran cantidad de geometría local de superficies en R3. El capítulo 4 unifica la geometría intrínseca de las superficies en torno al concepto de derivada covariante, Nuevamente, nuestro propósito fue preparar al lector para la noción básica de conexión en la geometría de Riemann.

Finalmente, en el Capítulo 5 utilizamos la primera y segunda variaciones de la longitud del arco para derivar algunas propiedades globales de las superficies. Cerca del final del capítulo 5 $Sec. 5-10$, mostramos cómo las preguntas sobre la teoría de superficies y la experiencia de los capítulos 2 y 4 conducen naturalmente a la consideración de variedades diferenciables y métricas de Riemann. Para mantener el equilibrio adecuado entre ideas y hechos, hemos presentado una gran cantidad de ejemplos que se calculan en detalle. Además, se proporciona una oferta razonable de ejercicios. Parte del material factual de la geometría diferencial clásica encontró su lugar en estos ejercicios. Se dan pistas o respuestas para los ejercicios destacados. Los requisitos previos para leer este libro son álgebra lineal y cálculo. Del álgebra lineal, solo se necesitan los conceptos más básicos, y un curso universitario estándar sobre el tema debería ser suficiente.