Ecuaciones Diferenciales – Paul Blanchard – 1ra Edición

El estudio de las ecuaciones diferenciales es una hermosa aplicación de las ideas y procedimientos del cálculo a nuestra vida cotidiana. Podría decirse que el cálculo fue desarrollado básicamente para que los principios que gobiernan muchos fenómenos pudieran ser expresados en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Desafortunadamente, fue difícil transmitir la belleza del tema en el tradicional primer curso sobre ecuaciones diferenciales, porque el número de ecuaciones que pueden tratarse con procedimientos analíticos es muy limitado. En consecuencia, el curso se enfocó más en los procedimientos que en los conceptos.

Este libro es una consecuencia de nuestra opinión de que ahora podemos efectuar una revisión radical y abordamos nuestro curso actualizado con varias metas en mente. En primer lugar, el énfasis tradicional en ardides y procedimientos especializados para resolver ecuaciones diferenciales ya no es apropiado, dada la tecnología disponible. En segundo lugar, muchas de las ecuaciones diferenciales más importantes no son lineales y los procedimientos numéricos y cualitativos son más efectivos que los analíticos para estos casos. Finalmente, el curso de ecuaciones diferenciales es uno de los pocos cursos a nivel de licenciatura donde es posible dar a los estudiantes una breve visión de la naturaleza de la investigación matemática contemporánea.

Los enfoques cualitativo, numérico y analítico

De acuerdo con ello, este libro se desvía radicalmente del típico texto “recetario de cocina” sobre ecuaciones diferenciales. Hemos eliminado la mayor parte de los procedimientos especializados para obtener fórmulas de soluciones y los hemos reemplazado con temas que se centran en la formulación de ecuaciones diferenciales y la interpretación de sus soluciones. A fin de adquirir un entendimiento de éstas, resolvemos una ecuación desde tres puntos de vista diferentes.

El principal enfoque que adoptamos es cualitativo. Esperamos que los estudiantes sean capaces de visualizar las ecuaciones diferenciales y sus soluciones de muchas maneras geométricas. Por ejemplo, usamos campos de pendientes, gráficas de soluciones, campos vectoriales y curvas solución en el plano fase como herramientas para un mejor entendimiento de las soluciones. También pedimos a los estudiantes que adquieran destreza para moverse entre las representaciones geométricas y analíticas más tradicionales.

Como el estudio de las ecuaciones diferenciales resulta más fácil usando la computadora, también hacemos énfasis en los procedimientos numéricos. Suponemos que los estudiantes tienen algún acceso a procedimientos tecnológicos que facilitan la aproximación a las soluciones y a las gráficas de esas soluciones. Aun cuando podemos encontrar una fórmula explícita para una solución, a menudo trabajamos numérica y cualitativamente con la ecuación para entender la geometría y el comportamiento a largo plazo de las soluciones. Cuando podemos encontrar soluciones explícitas fácilmente $como en el caso de ecuaciones separables de primer orden o sistemas lineales de coeficientes constantes$, efectuamos los cálculos. Pero nunca dejamos de examinar las fórmulas resultantes que obtenemos también con los puntos de vista cualitativo y numérico.