Descripción

En el año 1930, el lógico checo Kurt Godel demostró un teorema, hoy conocido como el «teorema de incompletitud de Godel», que cambió para siempre el modo de entender las matemáticas. Esencialmente, el teorema de Godel demuestra que si se utilizan métodos de razonamiento seguros y confiables, métodos a prueba de error, entonces es inevitable que existan problemas matemáticos que nunca podrán ser resueltos. Siempre habrá problemas matemáticos cuya solución estará fuera del alcance de esos métodos. Antes de que Godel expusiera por primera vez su teorema, los matemáticos tenían una confianza ilimitada en el hecho que, con suficiente tiempo, paciencia y esfuerzo, todo problema planteado podría ser resuelto.

Una famosa lista de 23 problemas, por ejemplo, había sido presentada por el matemático alemán David Hilbert en la conferencia inaugural del Segundo Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París en 1900. En su conferencia, muy memorable y estudiada, Hilbert vaticinó que sus 23 problemas guiarían gran parte de la investigación matemática a lo largo del siglo xx. Los problemas de Hilbert, obviamente, eran muy difíciles y estaba claro que muchos de ellos tardarían décadas en ser resueltos, como en efecto así fue.

El décimo problema, por ejemplo, fue respondido en 1970 (traducido a un lenguaje moderno, ese problema pedía detemünar si cierto tipo de ecuaciones, llamadas diofánticas», pueden ser siempre resueltas por un ordenador). El octavo problema, por su parte, conocido como la «hipótesis de Riemann», todavía no ha sido resuelto. Sin embargo, ni Hilbert, ni ninguno de sus colegas en aquel año de 1900 dudaba de que, tarde o temprano, se encontraría solución a todos los problemas. El propio Hilbert resumió este pensamiento en la frase: «Debemos saber, sabremos» ( « Wir müssen wissen, wir werden wissen» en alemán), frase con la que se sintió tan identificado que inclusive la hizo inscribir en su epitafio, tal vez como un mensaje a las generaciones futuras, o tal vez como un desafío póstumo a Godel (Hilbert falleció en 1943, trece años después de que Godel anunciara su teorema).

Ahora bien ¿qué es exactamente un problema matemático? ¿Qué queremos decir cuando afirmamos que los problemas de Hilbert eran difíciles? ¿Puede considerarse difícil el desafío: «calcule la suma de todos los números entre uno y un millón»? La mayoría de los problemas que estudia la ciencia matemática tienen la forma de una «conjetura». Una conjetura es una afirmación de la que se sospecha que es verdadera, pero de la que todavía no se sabe con certeza si es verdadera o falsa.