Descripción

Cuando contemplamos el cielo en una noche estrellada y sin luna, lejos de la interferencia de las luces de la ciudad, y nos sentimos maravillados por el espectáculo sobrecogedor que se despliega ante nosotros, en ese mismo momento desde lo más profundo de nuestro ser nace un sentimiento que nos abruma con la idea de lo pequeños que somos comparados con el infinito.

El infinito no es solo una sofisticada idea matemática, la dualidad entre lo infinito, palabra que literalmente significa «aquello que jamás termina», y su opuesto, lo finito, lo que sí acaba alguna vez, ha acompañado a la humanidad probablemente desde que el primer Homo sapiens se preguntó si el cielo termina alguna vez, si se puede llegar hasta el horizonte, o si nuestra vida realmente termina o si de alguna manera puede seguir indefinidamente.

Pero el infinito también es vértigo y, según el filósofo griego Zenón de Elea, hasta puede inmovilizar al universo, veamos qué queremos decir con esta idea. En el siglo VI ac. Pannénides de Elea -según muchos autores, el padre de la metafísica occidental postuló la existencia del ser. La característica fundamental del ser, según Parménides, es, justamente, la de existir, el ser existe, el ser es. De esta premisa Parménides dedujo que el ser abarca todo el universo, porque si hubiera aunque sea alguna pequeña región de este donde el ser no estuviera, en esa región el ser no existiría, pero decir que el ser no existe es una contradicción de términos, es imposible.

El ser, entonces, ocupa todo el universo, en otras palabras, el universo entero, nosotros incluidos, constituye el ser. Pero además, el ser es inmutable, no puede cambiar, porque si pasara, digamos, de un estado A a un estado B, entonces dejaría de existir en el estado A, y eso es imposible, porque el ser no puede dejar de existir. El ser es, en consecuencia, todo el universo, y es inmutable, por lo tanto, el universo es inmutable. Esto significa que el cambio y el movimiento que creemos ver a nuestro alrededor en realidad no existen, el tiempo no existe, en el ser no hay pasado ni futuro, solamente hay ahora.

Zenón, discípulo de Parménides, planteó una serie de razonamientos, conocidos como las paradojas de Zenón, con los que intentó demostrar, en respaldo de las ideas de su maestro, que el cambio y el movimiento no existen, que lo que creemos ver no es más que un engaño de los sentidos, y que la mente y la razón, guiadas por la lógica, son capaces de demostrar este hecho. Todas las paradojas de Zenón involucran el infinito de algún modo, una de ellas dice que si arrojamos una piedra hacia un árbol que está a un metro de distancia delante de nosotros, entonces, contrariamente a lo que la vista parece mostramos, la piedra jamás llega al árbol, de hecho, jamás abandona nuestra mano. Para demostrarlo, Zenón decía que antes de llegar al árbol la piedra debe recorrer primero medio metro, pero antes de eso, debe recorrer un cuarto de metro, y antes debe recorrer un octavo de metro, y antes, un dieciseisavo de metro, y así sucesivamente.

En realidad, para llegar al árbol la piedra debe completar una cantidad infinita de pasos previos, pero es imposible completar infinitos pasos en un tiempo finito, por lo tanto, deduce Zenón, la piedra jamás llega al árbol. Más aún, el mismo razonamiento que hemos hecho para una distancia de un metro, vale también para el primer milímetro o la primera milésima de milímetro, por lo que la piedra, en realidad, tal como dijimos previamente, nunca abandona nuestra mano. El infinito, como se ha expuesto, permite demostrar, según Zenón, que el universo es inmutable. En el siglo IV a.c., Aristóteles -el padre del estudio sistemático de la lógica y tal vez de la ciencia en general- escribió su Física, un tratado que contiene, entre otras cuestiones, un estudio del movimiento de los cuerpos, pero, desde luego, antes de estudiar el movimiento Aristóteles debía demostrar que ese movimiento realmente existe, es decir, debía refutar los argumentos de Parménides y de Zenón. Si el ser esencialmente es, ¿cómo puede entonces cambiar de estado, cómo puede dejar de ser algo? Aristóteles dice que el ser es, en efecto, pero que a veces es en potencia y a veces es en acto.

Cuando un niño crece y se transforma en adulto, no es que deje de ser un niño, sino que siendo niño era un adulto en potencia y al crecer pasa a ser un adulto en acto. Es decir, muta del estado de ser un adulto en potencia, al estado de ser un adulto en acto, el niño cambió, pero nunca dejó de ser. Una semilla es una planta en potencia, una hoja en blanco es un texto en potencia, y así sucesivamente. Siglos más tarde, Miguel Ángel expresaría una idea similar al decir que la escultura ya existía en el bloque de mármol y que él se limitaba a quitar lo que sobraba. Aristóteles reconcilia de esta manera la idea del ser de Parménides con la posibilidad del cambio. Demostrado que el ser puede mutar, ¿cómo se refutan los argumentos de Zenón? Todas las paradojas de Zenón suponen que el espacio o el tiempo son infinitamente divisibles. En la paradoja del árbol, por ejemplo, hay infinitos pasos en el espacio que media entre la mano y el árbol. Para refutar estos argumentos, Aristóteles afirmó que el infinito no existe, o, mejor dicho, que existe, pero solamente en potencia, nunca en acto. Infinito en potencia refiere a una cantidad que puede crecer tanto como se quiera, pero que todo el tiempo es finita, infinito en acto es una cantidad que, de hecho, es infinita.

Esta distinción es muy importante a la hora de pensar el infinito y volveremos varias veces a ella a lo largo de esta obra. Podemos admitir -dice Aristóteles- la existencia de cantidades que crecen indefinidamente, pero que son finitas todo el tiempo, sin embargo, no podemos admitir la existencia de cantidades infinitas de hecho. Podemos dividir la distancia entre la mano y el árbol en diez partes, o en cien, o en mil, o en cualquier cantidad finita tan grande como queramos, pero no podemos asumir que está dividida en una cantidad de partes que sea de hecho infinita.

Aristóteles no se limitó a postular la inexistencia del infinito en acto, sino que dio una serie de argumentos para sustentar esta afirmación, como los argumentos de Aristóteles serán analizados a lo largo de este libro, no los comentaremos aquí. Sin embargo, sí diremos que el rechazo aristotélico al infinito en acto marcó durante más de dos mil años la ortodoxia del pensamiento occidental, y, además de la fuerza de los argumentos de Aristóteles, muy probablemente este dominio estuvo favorecido también por dos circunstancias. La primera es que la mente humana es incapaz de representarse una imagen del infinito en acto, por lo que resulta muy fácil aceptar que en realidad no existe.

En efecto, sí podemos concebir, quizá, el infinito en potencia, podemos pensar en una cantidad que crece ilimitadamente, pero, insistimos, no el infinito en acto. ¿Qué sería representarse, por ejemplo, la imagen de una recta cuya longitud es infinita en acto? Sería pensar en una línea completa es decir, lo que «vemos» con la mente no debería ser solo un fragmento) cuya longitud es de hecho infinita. Pero la mente no puede abarcar esa imagen, si podemos pensar en una línea que se pierde en el horizonte y decirnos que sigue indefinidamente, pero en realidad estaríamos «viendo» una recta infinita en potencia, ya que nuestra «vista» solo abarca una parte. O pensemos en los números O, 1, 2, 3, 4, 5, … , visualizarlos como un infinito en acto sería pensarlos escritos todos juntos en una lista, todos sin excepción, una lista que está completa, pero que a la vez nunca termina, una imagen inabarcable para nuestra mente finita.

El segundo motivo por el que el rechazo aristotélico al infinito en acto resultó convincente es que, al razonar a partir del infinito, parece casi inevitable caer en contradicciones lógicas o en conclusiones extrañas que son contrarias al sentido común, como en el caso de Zenón, a quien el infinito le permitió demostrar la inexistencia del cambio y del movimiento. Otro ejemplo lo tenemos en el siglo XVII, cuando Galileo Galilei se encontró también con contradicciones que lo llevarían a rechazar la idea del infinito en acto, en el siglo XIX, por su parte, el matemático checo Bernard Bolzano intentó desarrollar una teoría del infinito matemático, pero también se encontró con paradojas que no supo resolver satisfactoriamente, estos dos casos serán comentados a lo largo del presente libro.