Descripción

El gran matemático y físico Bernhard Riemann nació en Alemania, en 1826, aunque desde un punto de vista estrictamente histórico sería mucho más correcto decir que nació en el reino de Hanóver, un estado independiente que casi medio siglo más tarde formaría parte del Imperio alemán. La región de Europa que hoy conocemos como Alemania vivía entonces un período de convulsión política. En 1806 el ejército napoleónico había conquistado, y disuelto, el Sacro Imperio Romano Germánico, una confederación milenaria de Estados casi independientes, cuyos orígenes se remontaban al reinado de Carlomagno (ca. 742-814). Tras la caída de Napoleón, en 1814, los estados que habían formado parte del antiguo imperio, políticamente separados pero unidos por una historia, una cultura y un idioma comunes, se plantearon la necesidad de fusionarse en un país unificado, si bien no existía un acuerdo unánime acerca de la extensión y de la estructura gubernamental que esta nueva nación debía tener.

El debate fue largo y turbulento, y la unificación solo se concretaría, casi por la fuerza, en 1871, después de dos guerras promovidas por el reino de Prusia. El padre de Riemann había combatido contra el ejército napoleónico, y en 1815, terminada la guerra, contrajo matrimonio y se instaló en la pequeña aldea de Breselenz, en el reino de Hanóver, el cual había sido golpeado con dureza durante la ocupación francesa y atravesaba en consecuencia una situación económica muy difícil.Estas circunstancias afectaron gravemente a los Riemann, quienes siempre padecieron serias privaciones. Fue así como la infancia de Bernhard y la de sus cinco hermanos, aunque llena de amor, como el propio matemático siempre reconocería, quedó marcada por la falta de una alimentación suficiente y de cuidados médicos adecuados.

Tanto es así que todos los historiadores coinciden en afirmar que fue esta probablemente la causa de que Bernhard falleciera a la temprana edad de treinta y nueve años y de que ninguno de sus hermanos llegara a vivir mucho más allá de esa edad. Debido a su prematura muerte, la carrera científica de Riemann duró poco más de diez años: se inició en 1849, cuando comenzó a preparar su tesis doctoral bajo la supervisión de Gauss, en la Universidad de Gotinga, y finalizó a principios de la década de 1860, cuando escribió sus últimos artículos. Pero durante ese breve período de tiempo Riemann logró hacer contribuciones esenciales a nada menos que cuatro ramas de las matemáticas: la topología, la geometría diferencial, el cálculo ( de variable real y de variable compleja) y la aritmética. También realizó muchas y muy relevantes aportaciones en el ámbito de la física, aportaciones que fueron el germen de la teoría de la relatividad y de la cosmología moderna, tanto es así que no sería exagerado afirmar que la manera en que actualmente se entiende el espacio-tiempo tuvo su origen en las ideas pioneras de Riemann.

Esta primera aproximación a la carrera de Riemann podría hacer pensar que sus principales trabajos científicos están totalmente desconectados entre sí, ya que algunos de ellos parecen pertenecer a «secciones» diferentes de las matemáticas, mientras que otros se alejan de esta disciplina y se adentran en el ámbito de una ciencia diferente, la física. Pero se trataría de una impresión completamente errónea, puesto que ni la ciencia en general ni las matemáticas en particular están divididas en compartimentos estancos. Topología, geometría diferencial, cálculo y aritmética, como veremos más adelante, son materias estrechamente relacionadas. De la misma forma, la matemática y la física, así como la biología, la química y otras ciencias se interconectan, se superponen y se apoyan mutuamente. Para Riemann, la frontera entre las matemáticas y la física prácticamente no existía.Por lo que concierne a sus trabajos científicos, hay que decir que estos, lejos de estar desconectados entre sí, reflejan diferentes aspectos de lo que podría denominarse el «programa de investigación de Riemann», cuyo objetivo último era nada menos que comprender el «funcionamiento del universo».

Para acercarnos a esta conexión, recorreremos algunos de sus trabajos más importantes, sobre los que ahondaremos en el desarrollo de este libro. Así como el pensamiento de Riemann está guiado por un objetivo global, de manera similar existe un concepto que atraviesa todos sus artículos matemáticos: se trata de la idea de función. Dicho de una manera sintética, para Riemann una función es esencialmente una «deformación» que se le aplica a una superficie o a una curva. Así, por ejemplo, si se tiene una superficie esférica y se la deforma hasta transformarla en la superficie de un cubo, puede decirse que a la superficie esférica se le ha aplicado una función. De manera similar, si se toma una superficie con forma de rosquilla perfectamente circular ( superficie que en matemáticas se denomina «toro») y se la estira hasta que su circunferencia exterior tenga la forma de una elipse, también se le habrá aplicado una función.

Y puede deformarse asimismo una superficie esférica, aplastándola, hasta transformarla en un círculo, o retorcer un rectángulo hasta que tenga la forma de una escalera de caracol, en realidad, la cantidad y variedad de deformaciones posibles es infinita. En uno de sus trabajos más importantes, una verdadera obra maestra, su tesis doctoral de 1851, Riemann analiza funciones, es decir, deformaciones, que se aplican a todo el plano euclídeo que, por motivos que veremos en el capítulo 1, podemos llamar plano complejo. Dicho de manera muy general, el «cálculo de variable compleja» citado anteriormente es el estudio de este tipo de funciones. Ahora bien, una de las dificultades que presenta esta rama de las matemáticas es que resulta muy complicado visualizar la deformación que se le aplica a una superficie infinita de una manera tal vez intrincadísima. Pero en su tesis doctoral Riemann creó una «herramienta» que tiene la enorme virtud de permitir «visualizar» muchas de las características de las funciones de variable compleja y que, en consecuencia, facilita el trabajo de compararlas y clasificarlas. La idea del matemático consistió en asociar a cada función una superficie, hoy conocida como superficie de Riemann de esa función. Su tesis también exponía la idea de que al estudiar las superficies que corresponden a las diferentes funciones basta con limitarse a analizar aquellas propiedades que se conservan cuando la superficie es deformada como si fuese de goma, sin hacerle cortes ni ensamblar partes separadas, técnicamente se las llama deformaciones bicontinuas.

A mediados del siglo XIX la topología era una rama de las matemáticas que estaba todavía en ciernes, una rama prometedora pero carente de un corpus coherente de éxitos. Sin embargo, a partir de la tesis de Riemann, la topología se transforma, precisamente, en el estudio de las propiedades que se conservan ( que son invariantes) por la aplicación de las deformaciones bicontinuas. Y Riemann fue el primero que aplicó esta forma de pensar la topología -tal y como a partir de entonces se ha hecho una y otra vez- al estudio de las propiedades esenciales de las funciones y de sus superficies asociadas.

Hemos hablado del cálculo de variable compleja y de la topología como ramas diferentes de las matemáticas, que en realidad lo son, pero Riemann derivó la topología del cálculo, a la vez que usó aquella para profundizar en el estudio de este: Cálculo de variable compleja H Topología. En 1854 el matemático alemán escribió otro de sus trabajos más importantes –que no se publicaría hasta 1868-, una nueva obra maestra en la que creó los conceptos fundamentales de la geometría diferencial. El problema básico que plantea este trabajo podría formularse de la siguiente manera: ¿cómo sabemos que la Tierra es esférica y no plana? Si se piensa con detenimiento, la mayoría de los experimentos que, históricamente, permitieron determinar la esfericidad de la Tierra o bien implican observaciones que se «separan de su superficie» ( como, por ejemplo, cuando vemos desaparecer antes el casco que el mástiL