Distancia de un punto a una recta en el espacio

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$, $text{d}$P,r$$ es la mínima de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera de la recta $r$.

• Si $P$ es un punto de la recta $r$, la distancia es cero.
• Si $P$ no es un punto de la recta $r$, la distancia de $P$ a $r$ es el módulo del vector $overrightarrow{PP’}$, donde $P’$ es la proyección ortogonal de $P$ sobre la recta $r$.

Sin embargo, existe una manera más sencilla de calcular la distancia de un punto $P$ a una recta $r$ si el punto no pertenece a la recta. Consideremos un punto $Q$ sobre la recta $r$ y el vector director de la recta, $vec{v}$. El área del paralelogramo determinado por el vector $overrightarrow{QP}$ y por $vec{v}$ es el módulo del producto vectorial de ambos vectores:
$$S_p=|overrightarrow{QP}timesvec{v}|$$

Pero el área de un paralelogramo también viene dada por el producto de la base por la altura. Entonces:
$$|S_p=|vec{v}|cdottext{d}$P,r$$$

Por tanto,
$$text{d}$P,r$=dfrac{|overrightarrow{QP}timesvec{v}|}{|vec{v}|}$$