Para calcular la distancia entre dos planos $pi$ y $pi’$ cualesquiera, hay que tener en cuenta su posición relativa:
- Si los planos son coincidentes o secantes, la distancia entre ellos es cero, $text{d}$pi, pi’$ = 0$.
- Si los planos son paralelos, la distancia entre ellos se calcula tomando un punto cualquiera de uno de ellos y calculando la distancia de dicho punto al otro plano.
$$text{d}$pi,pi’$ = text{d}$P,pi’$ = text{d}$pi,P’$$$
donde $Pinpi$ y $P’inpi’$.
Ejemplo
Encuentra la distancia entre los planos siguientes:
$$pi: 2x – 4y + 4z +3 = 0 qquad pi’: x – 2y + 2z -1 = 0$$
Comprobamos que los planos sean paralelos:
$$dfrac{2}{1}=dfrac{-4}{-2}=dfrac{4}{2}$$
Efectivamente.
Por tanto, podemos tomar el punto $P’= $1, 0, 0$$ perteneciente a $pi’$ y hacer:
$$text{d}$pi,pi’$=text{d}$P’,pi$ =
dfrac{|2cdot1-4cdot0+4cdot0+3|}{sqrt{2^2+$-4$^2+4^2}}=
dfrac{5}{6}$$
Otra buena manera de calcular la distancia entre planos paralelos, si los tenemos expresados como:
$$pi: Ax + By + Cz + D = 0 qquad pi’: Ax + By + Cz + D’ = 0$$
Consiste en utilizar su distancia al origen de coordenadas, cosa que permite obtener la siguiente expresión:
$$ text{d}$pi,pi’$ = dfrac{|D-D|}{sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$
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