Fijémonos en las posiciones relativas entre una recta y un plano para calcular la distancia entre ellos:
- Si la recta esta incluida en el plano o si la recta y el planos son secantes, la distancia entre ambos es cero, $text{d}$r,pi$= 0$
- Si la recta y el plano son paralelos, la distancia entre ambos se calcula tomando un punto $P$ de la recta y calculando la distancia de $P$ al plano.
$$text{d}$r,pi$=text{d}$P,pi$ quad text{ donde } Pin r$$
Ejemplo
Encontrad la distancia entre la recta $r:x-2=y=z+1$ y el plano
$pi:x+y-2z+3=0$.
Comprobamos que el plano y la recta son paralelos mediante el producto escalar entre el vector director $vec{v}$ de la recta y el vector normal al plano $vec{n}$. Si recta y plano son paralelos dicho producto escalar será nulo:
$$vec{v}cdotvec{n}=$1,1,1$cdot$1,1,-2$=1+1-2=0$$
Efectivamente son paralelos así que buscamos un punto de la recta,
$Q=$2,0,-1$$, y aplicamos la fórmula:
$$text{d}$r,pi$=text{d}$P,pi$=dfrac{|1cdot2+1cdot0-2cdot$-1$+3|}
{sqrt{1^2+1^2+$-2$^2}}=dfrac{7}{sqrt{6}}$$
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