Distancia entre un punto y una recta

La distancia entre un punto $P$ y una recta $r$, es el mínimo de las distancias entre $P$ y un punto cualquiera de la recta.

Podemos distinguir dos casos:

• Si $P$ pertenece a la recta $r$, $d $P, r$ = 0$.
• Si $P$ no pertenece a la recta $r$, $d $P, r$$ es el módulo del vector $overrightarrow{QP}$, donde $Q$ es el punto de intersección entre la recta $r$ y la perpendicular a $r$ que pasa por $P$.

Sea $Ax + By + C = 0$ la ecuación general de la recta $r$, $P =$p_1,p_2$ el punto dado y $A =$a_1,a_2$$ un punto cualquiera de la recta.

Si tomamos un vector perpendicular a $r$, por ejemplo $overrightarrow{n} = $A, B$$ por las propiedades del producto escalar en la proyección de vectores tenemos:
$$displaystyle d$P,r$=frac{|overrightarrow{AP} cdot overrightarrow{n}|}{overrightarrow{n}}=frac{|Acdot p_1+Bcdot p_2-$Acdot a_1+Bcdot a_2$|}{sqrt{A^2+B^2}}$$
Pero como $A = $a_1,a_2$$ es un punto de la recta $r$, tenemos que verificar su ecuación:
$$Acdot a_1+Bcdot a_2+C=0 leftarrow Acdot a_1+Bcdot a_2=C$$
Por tanto obtenemos la siguiente fórmula:
$$d$P,r$=displaystyle frac{|Acdot p_1+Bcdot p_2+C|}{sqrt{A^2+B^2}}$$

Ejemplo