Dodecaedro regular: Área y volumen

Encontrar el área de un dodecaedro de arista $a=10 \ m$.

Para calcular el área del dodecaedro regular de arista $a$ será necesario encontrar primero el área de un pentágono regular de lado $a$.

Será necesario utilizar la trigonometría para encontrar el área del pentágono a partir de $a$. Esto puede ser muy útil, ya que $ap$ no será un dato habitual en problemas como encontrar el área de un pentágono, o de un dodecaedro.

Puesto que los cinco triángulos de altura $ap$ que componen el pentágono son iguales,
$$A_{pentágono}=5 \cdot $\dfrac{a \cdot ap}{2}$ \\ b^2=ap^2+\Big$\dfrac{a}{2}\Big$^2$$
Se procede a buscar $b$. Sabiendo que, $\beta=\dfrac{360^\circ}{5}=72^\circ$ Y utilizando la definición del seno en el triángulo formado por $ap$, $b$, y $\dfrac{a}{2}$
$$\sin \dfrac{\beta}{2}=\sin 36^\circ= \dfrac{opuesto}{hipotenusa}=\dfrac{\dfrac{a}{2}}{b} \\ b=\dfrac{5}{\sin 36^\circ}= 8,5 \ m \\ 8,5^2=ap^2+5^2 \\ ap= 6,9 \ m$$

Así pues,
$$A_{pentágono}=5 \cdot \dfrac{10 \cdot 6,9}{2}= 172 \ m^2 \\ A_{dodecaedro}= 2063,5 \ m^2$$

Finalmente, las siguientes expresiones permiten encontrar el área y el volumen del dodecaedro de arista $a$:
$$A=30 \cdot a \cdot ap \\ V=\dfrac{1}{4}$15+7\sqrt{5}$a^3$$