Ecuación de la elipse con centro (x0, y0) y focos paralelos al eje x

Ahora el centro de la elipse ya no es el origen del plano sino que se encuentra en un punto $C$ al que le definimos como $C=$x_0,y_0$$.

En este caso consideraremos que el eje focal es paralelo al eje de abscisas, y por lo tanto los focos están en las coordenadas $F’ $x_0-c,y_0$$ y $F$x_0+c,y_0$$.

Aplicando estos focos en la definición general de la elipse $$\overline{PF}+\overline{PF’}=2a$$ se obtiene la expresión
$$\sqrt{$x-x_0+c$^2+$y-y_0$^2}+\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}=2a$$

Al restar la raíz, y elevando al cuadrado:
$$\Big$\sqrt{$x-x_0+c$^2+$y-y_0$^2}\Big$^2=\Big$2a-\sqrt{$x-x_0-c$+$y-y_0$}\Big$^2$$
$$$x-x_0+c$^2+$y-y_0$^2=4a^2-4a\sqrt{$x-x_0-x$^2+$y-y_0$^2}+$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2$$
$$$x-x_0$^2+2$x-x_0$c+c^2+$y-y_0$^2= 4a^2-4a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}+$$
$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +$x-x_0$^2-2$x-x_0$c+c^2+$y-y_0$^2$$

Simplificando y dividiendo por cuatro:
$$4$x-x_0$c=4a^2-4a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}$$
$$$x-x_0$c=a^2-a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}$$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado:
$$$a^2-c$x-x_0$$^2=\Big$a \sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}\Big$^2$$
$$a^4-2a^2c$x-x_0$+c^2$x-x_0$^2= a^2\Big$$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2\Big$$$
$$a^4-2a^2c$x-x_0$+c^2$x-x_0$^2= a^2\Big$$x-x_0$^2-2c$x-x_0$+c^2+$y-y_0$^2\Big$$$
$$a^4-2a^2c$x-x_0$+c^2$x-x_0$^2=a^2$x-x_0$^2-2a^2c$x-x_0$+a^2c^2+a^2$y-y_0$^2$$
$$c^2$x-x_0$^2-a^2$x-x_0$^2-a^2$y-y_0$^2=a^2c^2-a^4$$
$$$c^2-a^2$$x-x_0$^2-a^2$y-y_0$^2= a^2$c^2-a^2$$$

Se divide entonces por $a^2$c^2-a^2$$ para obtener un 1 a la derecha:
$$\displaystyle \frac{$c^2-a^2$$x-x_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}-\frac{a^2$y-y_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}=1$$
$$\displaystyle \frac{$x-x_0$^2}{a^2}-\frac{$y-y_0$^2}{$c^2-a^2$}=1$$

Aplicando la definición $a^2=b^2+c^2$, $-b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada:
$$\displaystyle \frac{$x-x_0$^2}{a^2}-\frac{$y-y_0$^2}{-b^2}= 1 \Longrightarrow \frac{$x-x_0$^2}{a^2}+\frac{$y-y_0$^2}{b^2}=1$$

Por lo tanto la ecuación es
$$\displaystyle \frac{$x-x_0$^2}{a^2}+\frac{$y-y_0$^2}{b^2}=1$$
y el dibujo correspondiente es:

Ejemplo