Ecuación de la hipérbola horizontal

En este apartado se tratarán las hipérbolas horizontales con el centro en un punto genérico $C$x_0,y_0$$.

El eje focal es paralelo al eje de abscisas, y por lo tanto los focos están en las coordenadas $F’$x_0-c,y_0$$ y $F$x_0+c,y_0$$.

Aplicando estos focos en la definición general de la hipérbola $\overline{PF}- \overline {PF’}=2a$ se obtiene la expresión $$\sqrt{$x-x_0+c$^2+$y-y_0$^2}-\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}=2a$$

Al sumar la raíz, y elevando al cuadrado:
$$\begin{array}{rcl} \Big$\sqrt{$x-x_0+c$^2+$y-y_0$^2}\Big$^2 & = & \Big$2a+\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}\Big$^2 \\ $x-x_0+c$^2+$y-y_0$^2 & = & 4a^2+4a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}+ \\
& & +$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2 \\ $x-x_0$^2+2$x-x_0$c+c^2+$y-y_0$^2 & = & 4a^2+4a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}+ \\ & & +$x-x_0$^2-2$x-x_0$c+c^2+$y-y_0$^2\end{array}$$

Simplificando y dividiendo por cuatro:
$$\begin{array}{rcl} 4$x-x_0$c & = & 4a^2+4a \sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2} \\ $x-x_0$c & = & a^2+a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}\end{array}$$

Al despejar la raíz y elevar nuevamente al cuadrado:
$$\begin{array}{rcl} $c$x-x_0$-a^2$^2 & = & $a\sqrt{$x-x_0-c$^2+$y-y_0$^2}$^2 \\ c^2$x-x_0$^2-2a^2c$x-x_0$+a^4& = & a^2$$x-x_0$^2+$y-y_0$^2 \\ c^2$x-x_0$^2-2a^2c$x-x_0$+a^4& = & a^2$$x-x_0$^2-2c$x-x_0$+x^2+$y-y_0$^2$ \\ c^2$x-x_0$^2-2a^2c$x-x_0$+a^4 & = & a^2$x-x_0$^2-2ac$x-x_0$+a^2c^2+a^2$y-y_0$^2\\ c^2$x-x_0$^2 -a^2$x-x_0$^2-a^2$y-y_0$^2 & = & a^2c^2-a^4 \\ $c^2-a ^2$$x-x_0$^2-a^2$y-y_0$^2& = &a^2$c^2-a^2$ \end{array}$$

Se divide entonces por $a^2$c^2-a^2$$ para obtener un $1$ a la derecha:
$$\begin{array}{rcl} \dfrac{$c^2-a ^2$$x-x_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}-\dfrac{a^2$y-y_0$^2}{a^2$c^2-a^2$}& = &1 \\ \dfrac{$x-x_0$^2}{a^2}-\dfrac{$y-y_0$^2}{$c^2-a^2$}& = &1 \end{array}$$

Aplicando la definición $c^2=a^2+b^2$, $b^2=c^2-a^2$ se sustituye y se llega a la ecuación deseada:
$$\displaystyle \frac{$x-x_0$^2}{a^2}-\frac{$y-y_0$^2}{b^2}= 1$$