La Integral definida

En la sección anterior calculamos el área de una región usando aproximaciones con rectángulos inscritos y circunscritos de igual anchura, pero este no es el único método existente. Tanto el área de una región $R$ y la integral definida se calculan utilizando el mismo procedimiento definido anteriormente, es decir, Sumas de Riemann. Por lo tanto, ¿es posible determinar el área bajo la curva con una integral definida?

Definición

Sea una función $f$ definida en un intervalo cerrado $[a,b]$. La integral definida de $f$ entre $a$ y $b$ se denota por $\int_{a}^{b} f$x$ \,dx$ y está definida como: $$\int_{a}^{b} f$x$ \,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f$x_{i}$\Delta$x$$$ Por lo que si deseamos determinar el valor de una integral definida, se debe de determinar el límite de las Sumas de Riemann.

No es coincidencia que la notación para las integrales definidas sea similar a la que se empleó para las integrales indefinidas. Pero tanto las integrales definidas, como las indefinidas, son identidades diferentes. Una integral definida es un número, en tanto que una integral indefinida es una familia de funciones.

La integral definida como área de una región

Se puede usar una integral definida para determinar el área de la región acotada por una función $f$, en el eje $x$, en los puntos $x=a$ y $x=b$.

Teorema 2.3: Si $f$ es una función integrable y $f$x$\geq0$ para todo $x$ en $[a,b]$, entonces el área $A$ bajo la gráfica de $f$ entre $a$ y $b$ es $\int_{a}^{b} f$x$ \,dx$, esto es: $$A = \int_{a}^{b} f$x$ \,dx$$

Ejemplo Áreas de figuras geométricas comunes

Dibujar la región correspondiente a cada integral definida. Evaluar después cada integral utilizando una fórmula geométrica.

$$\begin{array}{r@{\hspace{1cm}}l} a$ \int_{1}^{3} 4\,dx & b$ \int_{0}^{3} $x+2$\,dx & c$ \int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,dx \end{array}$$

Solución. Un dibujo de cada región se muestra en la siguiente figura.

a$ Esta región es un rectángulo de 4 de alto por 2 de ancho. $$\int_{1}^{3} 4\,dx = \text{$Área del rectángulo$} = 4$2$ = 8$$

b$ Esta región es un trapezoide con una altura de 3 y bases paralelas de longitudes 2 y 5. La fórmula para el área de un trapezoide es $ \frac{1}{2}h$b_{1}+b_{2}$$. $$\int_{0}^{3} $x+2$\,dx = \text{$Área del trapezoide$} = \frac{1}{2}$3$$2+5$ = \frac{21}{2}$$

c$ Esta región es un semicírculo de radio 2. La fórmula para el área de un semicírculo es $ \frac{1}{2}\pi\,r^2$. $$\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^2}\,dx = \text{$Área del semicírculo$} = \frac{1}{2}\pi$2^2$ = 2\pi$$