Posición relativa de tres planos

$$\begin{array}{rrcl} \pi_1:&A_1x+B_1y+C_1z+D_1&=&0 \\ \pi_2:& A_2x+B_2y+C_2z+D_2&=&0 \\ \pi_3:&A_3x+B_3y+C_3z+D_3&=&0\end{array}$$

Consideremos el sistema formado por las tres ecuaciones. Las matrices $M$ y $M’$ asociadas al sistema son:
$$M=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ A_3 & B_3 & C_3 \end{pmatrix}$$
$$M’=\begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1&-D_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 &-D_2\\ A_3 & B_3 & C_3&-D_3 \end{pmatrix}$$

Podemos clasificar la posición relativa de los planos según la compatibilidad de los sistemas:

• Sistema Compatible
  • Sistema Compatible Indeterminado:
    • $rango $M$ = rango $M’$ = 1$Las soluciones dependen de dos parámetros. Los tres planos son coincidentes.
    • $rango $M$ = rango $M’$ = 2$Las soluciones dependen de un parámetro, por tanto tienen una recta en común.Ahora debemos determinar la posición de los planos dos a dos. Tenemos 2 opciones:
      • Los tres planos son secantes en una recta.
      • Dos planos coincidentes y un plano secante.
  • Sistema compatible determinado:
    • $rango $M$ = rango $M’$ = 3$Los planos son secantes en un punto.
  • Sistema incompatible
    • $rango $M$ = 1$; $rango $M’$ = 2$Sistema incompatible: Existen planos paralelos.A continuación debemos determinar si hay planos coincidentes.
    • $rango $M$ = 2$; $rango $M’$ = 3$Sistema incompatible: Existen planos secantes.A continuación se debe determinar si también hay planos paralelos.