Descripción

Los números primos como el 17, el cual Cervantes finge que el bachiller debe factorizar han fascinado a los matemáticos desde tiempos remotos: por el teorema fundamental de la aritmética, son los átomos a partir de los cuales se construyen todos los otros enteros mayores que 1 y exhiben propiedades que atraen y maravillan al mismo tiempo, y su aparente sencillez esconde riquezas que se asoman apenas uno se detiene a reflexionar un poco, por ejemplo, aun cuando existe un número infinito de ellos, en ocasiones suelen estar tan dispersos que hay lagunas arbitrariamente grandes de enteros que carecen de primos, y es muy fácil visualizar algunas propiedades acerca de los primos y, sin embargo, puede ser muy difícil dar una demostración de estas propiedades, por ejemplo, una vista rápida a una tabla de los primeros números primos, digamos menores que 1000, puede mostrar que en ocasiones los primos aparecen separados por la distancia mínima de 2, por ejemplo 11 y 13, 17 y 19, 29 y 31 (a estos pares de números primos se los llama primos gemelos), y uno puede conjeturar que hay un número infinito de estos, no obstante, a pesar de progresos recientes, todavía no se tiene una demostración de esta conjetura.

La historia de la teoría de números, o aritmética superior, está llena de conjeturas como la anterior, muy fáciles de hacer, aparentemente naturales, elementales en su formulación y cuya demostración está en muchas ocasiones todavía muy lejanas. La atracción que ejerce la teoría de números solo es comparable a la de la geometría, ambas con raíces profundas en la historia (y prehistoria) de la humanidad. En todas las culturas del norte y sur, este y oeste, impulsados por simple curiosidad, aparentemente sin conexión con la realidad o aplicaciones, en tablillas con textos cuneiformes de los babilonios o en palimpsestos de origen griego, en estelas mayas o en manuscritos árabes, matemáticos cuyo nombre recuerda la historia o cuyas aportaciones sobreviven al olvido de sus nombres adornan la historia de nuestra ciencia. Este libro es una introducción elemental a la aritmética superior.

Comenzando con una discusión sencilla de la noción de divisibilidad, siguiendo la tradición clásica introduce las propiedades elementales de las congruencias, de las cuales deduce inmediatamente una aplicación a la criptografía de clave pública, después estudia en forma económica, y con un lenguaje cercano al de la teoría de grupos, la existencia de raíces primitivas, para dar luego una aplicación al intercambio de claves y al criptosistema de ElGamal, ambos basados en la noción de logaritmo discreto. Después, se estudian congruencias cuadráticas, entre ellas, la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss, Legendre y Euler, y se aplica lo anterior al criptosistema de Rabin. El libro incluye un estudio de algunas ecuaciones diofantinas de grado 2 y 3, desde la existencia y caracterización de ternas pitagóricas hasta la formulación de la conjetura de Fermat, para finalizar con un estudio de la llamada ecuación de Pell.

El último capítulo es una introducción elemental a la aritmética de las curvas elípticas. Una novedad del libro es que, en muchos casos y cuando es necesario para algún tipo de aplicaciones, las demostraciones se dan en tal forma que permitan su algoritmización casi inmediata, lo cual se refuerza en ocasiones dando el pseudocódigo correspondiente, de tal manera que el estudiante con interés en aspectos computacionales pueda escribir un programa para la implementación de estos algoritmos. Sin llegar a la exageración, se han incluido algunas aplicaciones de interés relativamente reciente, tales como los criptosistemas de RSA, ElGamal y Rabin que solo requieren los conocimientos incluidos en el texto.