Álgebra Lineal – Rocío Buitrago – 1ra Edición

CONTENIDO:

UNIDAD 1. MATRICES (1)

Introducción 1

Objetivo general. 2

Objetivos específicos. 2

1.1. Generalidades de las matrices 3

1.1.1. Matrices especiales 4

1.1.2. Operaciones elementales sobre una matriz 7

1.1.3. Aplicaciones 8

Ejercicios propuestos. 13

1.2. Operaciones con matrices 16

1.2.1. Suma de matrices 16

1.2.2. Multiplicación escalar 18

1.2.3. Producto de matrices 21

1.2.4. Aplicaciones 25

Ejercicios propuestos 28

1.3. Matriz inversa 30

1.3.1. Algoritmo para hallar la matriz inversa 33

1.3.2. Aplicaciones 35

Ejercicios propuestos 38

Resumen y glosario 39

Auto evaluación 43

Retroalimentación 45

UNIDAD 2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (49)

Introducción 49

Objetivo general 50

Objetivos específicos 50

2.1. Generalidades 51

2.1.1. Sistemas de ecuaciones lineales ( S.E.L. ) 54

2.1.2. Sistemas lineales homogéneos ( S.L.H. ) 59

Ejercicios propuestos 61

2.2. Métodos de solución 63

2.2.1. Eliminación de Gauss 64

2.2.2. Reducción de Gauss-Jordan 67

2.2.3. Solución de la ecuación matricial 72

Ejercicios propuestos 75

2.3. Aplicaciones 78

2.3.1. Problemas con solución única 78

2.3.2. Problemas con más de una solución 82

Ejercicios propuestos 87

Resumen y glosario 89

Auto evaluación 91

Retroalimentación 92

UNIDAD 3. DETERMINANTES (97)

Introducción 97

Objetivo general 98

Objetivos específicos 98

3.1. La función determinante 99

3.1.1. Definición por cofactores 101

3.1.2. Propiedades de los determinantes 107

Ejercicios propuestos 113

3.2. Aplicaciones 115

3.2.1. Regla de Cramer 115

3.2.2. Matriz inversa 120

Ejercicios propuestos 127

Resumen y glosario 129

Auto evaluación 131

Retroalimentación 132

UNIDAD 4. VECTORES (135)

Introducción 135

Objetivo general 136

Objetivos específicos 136

4.1. Vectores en ℜ2 138

4.1.1. Características de los vectores en ℜ2 (plano cartesiano): 138

Definiciones e interpretaciones geométricas.

Norma. Angulo direccional. Vector normado.

4.1.2. Operaciones con vectores en ℜ2 145

Suma: definición, interpretación geométrica, propiedades 145

Multiplicación escalar: definición, interpretación geométrica, propiedades 152

Producto escalar: definición, interpretación geométrica, propiedades 160

4.1.3. Aplicaciones de los vectores en ℜ2 172

Paralelismo y perpendicularidad 172

Proyecciones ortogonales, trabajo 174

Teorema del coseno 177

Auto evaluación 179

4.2. Vectores en ℜ3 181

4.2.1. Características de los vectores en ℜ3 (espacio tridimensional): 181

Definiciones e interpretaciones geométricas.

Norma. Ángulos y cosenos directores. Vector normado.

4.2.2. Operaciones con vectores en ℜ3 : 188

Suma, multiplicación escalar, producto escalar: definición, propiedades.

Producto vectorial, producto mixto: definición, interpretación geométrica

propiedades 196

4.2.3. Aplicaciones de los vectores en ℜ3 205

Ecuaciones de rectas y planos en ℜ3 205

Distancias e intersecciones entre rectas y planos 212

Ángulos entre rectas y planos 219

Momentos de una fuerza 224

Áreas de paralelogramos y volúmenes de paralelepípedos 203

Ejercicios propuestos 226

4.3. Vectores en ℜn 227

4.3.1. Generalidades de los vectores en ℜn 227

4.3.2. Operaciones en ℜn 228

Resumen y glosario 235

Auto evaluación 238

Retroalimentación 241

UNIDAD 5. ESPACIOS VECTORIALES (249)

Introducción 249

Objetivo general 250

Objetivos específicos 250

5.1. Estructuras algebraicas 251

5.1.1. Estructura de grupo conmutativo 251

5.1.2. Estructura de campo 253

5.1.3. Estructura de espacio vectorial 254

5.1.4. Subespacios 256

Ejercicios propuestos 258

5.2. Bases y Dimensión 260

5.2.1. Generador de un espacio vectorial 260

5.2.2. Dependencia e independencia lineal 265

5.2.3. Bases y dimensión de un espacio vectorial 270

Ejercicios propuestos 278

5.3. Aplicaciones 279

5.3.1. Rango y nulidad de una matriz 279

5.3.2. Matriz de cambio de base 285

Ejercicios propuestos 288

Resumen y glosario. 290

Auto evaluación. 294

Retroalimentación. 296

UNIDAD 6. TRANSFORMACIONES LINEALES (301)

Introducción 301

Objetivo general 302

Objetivos específicos 302

6.1. Transformaciones lineales 303

6.1.1. Definición y ejemplos 303

6.1.2. Imagen y Núcleo 311

6.1.3. Representación matricial 316

Ejercicios propuestos. 324

6.2. Valores y vectores propios. 325

6.2.1. Valores y vectores propios de una matriz. 325

6.2.2. Semejanza y diagonalización de matrices. 329

Ejercicios propuestos. 332

Resumen y glosario 333

Auto evaluación 336

Retroalimentación 337