1.1 Área bajo la curva
1.1.2 Sumas de Riemann
Anteriormente revisamos un caso para estimar el área de una región acotada por la función \(f(x) = x^2\) en \([0,1]\), empleando la suma de las áreas de los rectángulos en que se dividió dicha región. Ahora generalicemos.
Consideremos una función \(f(x)\) definida en un intervalo \([a,b]\) y dividamos este intervalo en n subintervalos de longitud \(\Delta_{x}\), los subintervalos van desde \(x_{0}\) hasta \(x_{n}\), siendo \(b = x_{n}\), como se muestra en la figura.
$$Así\:se\:tiene\:\:\Delta_{x} = \frac{b-a}{n}$$ $$\begin{array}{rcl} a &=& x_{0} \\ x_{1} &=& a + \Delta_{x} \\ x_{2} = x_{1} + \Delta_{x} &=& a + 2\Delta_{x} \\ x_{3} &=& a + 3\Delta_{x} \\ & \notag \\ x_{i} &=& a + i\Delta_{x} \\ & \notag \\ b &=& x_{n} \end{array}$$
Si nos situamos en el intervalo \([x_{i-1},x_{i}]\) y calculamos el área del rectángulo que forma, \(A = b \times h\), donde la base \(b\) es la longitud del intervalo, esto es \(b=\Delta_{x}\) y la altura \(h\) es el valor de la función en cualquier punto del intervalo, consideremos un punto arbitrario \(x_{i}^*\), así \(h=f(x_{i}^*)\), luego entonces, \(A_{i} = f(x_{i}^*)\Delta_{x}\) con \(x_{i}^* \in [x_{i-1}, x_{i}]\)
Calculando el área de todos los rectángulos, tenemos: $$A_{1} = f(x_{1}^*)\Delta_{x}$$ $$A_{2} = f(x_{2}^*)\Delta_{x}$$ $$\begin{align} A_{3} &= f(x_{3}^*)\Delta_{x} \\ & \notag \\ A_{i} &= f(x_{i}^*)\Delta_{x} \\ & \notag \\ A_{n} &= f(x_{n}^*)\Delta_{x} \\ \end{align}$$ Sumando todas las áreas de los rectángulos, nos aproximamos al área de la región. $$A\approx f(x_{1}^*)\Delta_{x} + f(x_{2}^*)\Delta_{x} + f(x_{3}^*)\Delta_{x} + … + f(x_{i}^*)\Delta_{x} + … + f(x_{n}^*)\Delta_{x}$$ $$A\approx \sum_{i=1}^n f(x_{i}^*)\Delta_{x}$$ Mientras mayor sea el número de rectángulos se tiene una mejor aproximación al área de la región, así si \(n\to\infty\) entonces \(\Delta_{x}\to0\) , por lo cual la longitud del intervalo tiende a cero y si tomamos un punto de él será \(x_{i}\). Por lo tanto, $$A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_{i})\Delta_{x}$$
Definición: Sea \(f\) una función definida en un intervalo cerrado \([a,b]\) y sea \(P\) una partición de \([a,b]\). Una Suma de Riemann de \(f(x)\) para \(P\) es una expresión de la forma: $$R_{P} = \sum_{i=1}^n f(x_{i}^*)\Delta_{x}$$ Donde \(x_{i}^*\) es un número del intervalo \([x_{i-1},x_{i}]\), para \(i = 1,2,3,…,n\)
Definición: El área de la región \(S\) que se encuentra bajo la gráfica de la función continua \(f\) definida en el intervalo \([a,b]\) es el límite de las Sumas de Riemann, esto es: $$A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_{i})\Delta_{x}$$ Si el límite existe.
No es necesario que \(f(x_{i}^*)\) sea el máximo o el mínimo. El rectángulo puede no estar inscrito ni circunscrito, \(f(x)\) puede ser negativo para algún \(x\), algunos términos de la suma de Riemann \(R_{P}\)RP pueden ser negativos.
Ejemplo 1.
Hallar el área de la región entre la parábola \(y = x^2\) y el eje \(x\) en el intervalo \([0,2]\). Tenemos que: $$Área\:\: A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_{i})\Delta_{x}, f(x)=x^2, a=0, b=2$$ Luego entonces: $$\Delta_{x} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n},$$, $$x_{i} = 0 + i\Delta_{x} = i\Delta_{x} = i\left( \frac{2}{n} \right)$$ $$\Rightarrow x_{i}=\left( \frac{2}{n} \right)i$$ $$Así\:\: f(x_{i}) = f\left( \frac{2}{n}i \right) = \left( \frac{2}{n}i \right)^2 = \frac{4}{n^2}i^2$$ Tomando en cuenta que \(n\) es constante, tenemos que el área es:
$$A = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{4}{n^2}i^2 \left( \frac{2}{n} \right) = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{8}{n^3}i^2$$ Usando la suma de los primeros \(n\) términos de \(i^2\) se tiene: $$A = \lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{i=1}^n \frac{8}{n^3} \times \sum\limits_{i=1}^n i^2$$ $$A = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$$ Podemos tener una sola fracción al multiplicar y aplicar la regla de l’Hôpital pero no siempre es el proceso más directo, si tomamos en cuenta que: $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, \:generalizando…$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0,\:\:con\:\:k\:\:entero\:\:y\:\:k\geq0$$ Por lo que es más recomendable buscar estas formas en el límite, lo que nos lleva a la siguien expresión: $$A = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)$$ $$\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \left( \frac{8n}{6n} \right) \left(\frac{n+1}{n} \right) \left(\frac{2n+1}{n} \right)$$ $$\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \left(\frac{4n}{3n} \right) \left(\frac{n+1}{n} \right) \left(\frac{2n+1}{n} \right)$$ $$\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \left(\frac{4}{3}\right) \left(1+\frac{1}{n}\right) \left(2+\frac{1}{n}\right)$$ $$\therefore A = \left(\frac{4}{3}\right) (1) (2) = \frac{8}{3}$$
Área por defecto y por exceso
Cuando determinamos el área de una región limitada por una curva representada por la función \(y = f(x)\) , podemos tomar los rectángulos inscritos o circunscritos. Si los rectángulos son inscritos tenemos que éstos quedan dentro de la región y nos aproximamos al área con un valor menor ya que falta área por cubrir esta sería el área por defecto y si los rectángulos son circunscritos tenemos que éstos quedan fuera de la región y nos aproximamos al área con un valor mayor ya que sobra área, está sería el área por exceso.
La función de la parte izquierda es creciente y para tener rectángulos inscritos se toma la parte izquierda de cada intervalo y la función de la parte derecha es decreciente por lo que para tener los rectángulos circunscritos se toma el extremo izquierdo del intervalo. Por lo cual no se puede generalizar que uno de los extremos de los intervalos nos genera rectángulos inscritos o circunscritos, luego cuando nos piden área por defecto es necesario graficar la función y en base a ésta determinar que extremo del intervalo produce el área por exceso o defecto.
En general el extremo izquierdo del intervalo se representa por \(x_{i-1}\) y varía dese \(i = 0\) hasta \(i = n -1\) y la parte derecha por \(x_{i}\) y varía desde \(i = 1\) hasta \(i = n\).
Ejemplo 2.
Hallar el área de la región entre la parábola \(y = x^2\) y el eje \(x\) en el intervalo \([0,2]\) , por exceso y por defecto. A partir de la gráfica observamos lo siguiente:
El área por defecto se tiene en el extremo izquierdo del intervalo, esto es cuando la variable es \(x_{i-1}\) y varía desde \(i = 0\) hasta \(i = n -1\) y el área por exceso en el extremo derecho del intervalo, esto es cuando la variable es \(x_{i}\) y varía desde \(i = 1\) hasta \(i = n\).
Cálculo del área por defecto.
Tenemos lo siguiente: $$Área\:\: A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_{i-1})\Delta_{x}, f(x)=x^2, a=0, b=2$$ Luego entonces: $$\Delta_{x} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}$$ $$x_{i-1} = 0 + (i-1)\Delta_{x} = (i-1) \frac{2}{n}$$ $$\Rightarrow x_{i-1}=\left( \frac{2}{n} \right)(i-1)$$ Así: $$f(x_{i-1}) = f\left( \frac{2}{n}(i-1) \right) = \left( \frac{2}{n}(i-1) \right)^2 = \frac{4}{n^2}(i-1)^2$$ Por lo que el área es:
$$A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{4}{n^2}(i-1)^2 \left( \frac{2}{n} \right) = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{8}{n^3}(i-1)^2$$ Usando la suma de los primeros \(n\) términos de \(i^2\) para \(i\) desde \(0\) hasta \(n -1\) $$A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n-1} \frac{8}{n^3} (i^2-2i+1)$$ $$\Rightarrow \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1}i^2 – \frac{16}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1}i + \frac{8}{n^3} \sum_{i=0}^{n-1}1$$ Aplicando una suma especial de las definidas anteriormente… $$\sum_{k=1}^nk^2 = 1^2+2^2+3^2+…+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ la ecuación anterior se convierte en: $$\sum_{k=0}^{n-1}k^2 = 0^2+1^2+2^2+3^2+…+(n-1)^2=\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$$ los primeros \(n\) términos de \(i\) para \(i\) desde \(0\) hasta \(n-1\), $$\sum_{k=1}^nk = 1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}$$ la ecuación anterior se convierte en: $$\sum_{k=0}^{n-1}k = 0+1+2+3+…+n-1=\frac{n(n-1)}{2}$$ Y finalmente, la sumatoria de la constante \(\sum\limits_{k=1}^n c = nc\) se convierte en: $$\sum_{k=0}^{n-1} c = (n-1)c,\:\:tomando\:\:c=1$$ Por lo que el área es igual a: $$A = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n-1)(2n-1)}{6} \right) – \lim_{n\to\infty} \frac{16}{n^3} \left( \frac{n(n-1)}{2} \right)+ \lim_{n\to\infty} \frac{8}{n^3}(n-1)$$ Tomando en cuenta que: $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0, \:generalizando…$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0,\:\:con\:\:k\:\:entero\:\:y\:\:k\geq0$$ Se tiene que: $$A = \lim_{n\to\infty} \frac{8}{6} \left( \frac{n(n-1)(2n-1)}{n^3} \right) – \lim_{n\to\infty} \frac{16}{2} \left( \frac{n(n-1)}{n^3} \right)+ \lim_{n\to\infty} 8\left( \frac{n-1}{n^3} \right)$$ $$A = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{3} \left( \frac{n-1}{n} \right) \left( \frac{n}{n} \right) \left( \frac{2n-1}{n} \right) -\lim_{n\to\infty} 8 \left( \frac{n-1}{n} \right) \left( \frac{n}{n^2} \right)+ \lim_{n\to\infty} 8\left( \frac{n-1}{n^3} \right)$$ $$A = \lim_{n\to\infty} \frac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( 2-\frac{1}{n} \right) -\lim_{n\to\infty} 8 \left( 1-\frac{1}{n} \right) \left( \frac{1}{n} \right)+ \lim_{n\to\infty} 8\left( \frac{1}{n^2} – \frac{1}{n^3} \right)$$ $$A = \frac{4}{3}(1-0)(2-0) – 8(1-0)(0) + 8(0-0)$$ $$\Rightarrow \frac{4}{3}(1)(2) – 8(1)(0) + 8(0) = \frac{8}{3}$$ Por lo tanto, el área de la región es \(\frac{8}{3}\). El área de la región ya sea por exceso o por defecto debe de ser la misma.
Cálculo del área por exceso.
Como ya se dijo el área por exceso se tiene en el extremo derecho del intervalo, esto es cuando la variable es \(x_{i}\) y varía desde \(i=1\) hasta \(i=n\). Así tenemos: $$Área\:\: A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_{i})\Delta_{x}, f(x)=x^2, a=0, b=2$$ Luego entonces: $$\Delta_{x} = \frac{2-0}{n} = \frac{2}{n}$$ $$x_{i} = 0 + i\Delta_{x} = i \frac{2}{n}$$ $$\Rightarrow x_{i}=\left( \frac{2}{n} \right)i$$ En donde: $$f(x_{i}) = f\left( \frac{2}{n}i \right) = \left( \frac{2}{n}i \right)^2 = \frac{4}{n^2}i^2$$ Como podemos ver, se tienen las mismas condiciones del ejemplo 1, por lo que, podemos decir que área es igual a:
$$\begin{equation} A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{4}{n^2}i^2 \left( \frac{2}{n} \right) = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{8}{n^3}i^2 \end{equation}$$ Usando la suma de los primeros \(n\) términos de \(i^2\) $$A = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n \frac{8}{n^3}i^2$$ $$\begin{array}{rcl} \Rightarrow &\lim\limits_{n\to\infty}& \sum\limits_{i=1}^n \frac{8}{n^3} \left( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right)\\ \Rightarrow &\lim\limits_{n\to\infty}& \left( \frac{8n}{6n} \right) \left( \frac{n+1}{n} \right) \left( \frac{2n+1}{n} \right) \\ \Rightarrow &\lim\limits_{n\to\infty}& \left( \frac{4n}{3n} \right) \left( \frac{n+1}{n} \right) \left(\frac{2n+1}{n}\right)\\ \Rightarrow &\lim\limits_{n\to\infty}& \left( \frac{4}{3} \right) \left( 1 + \frac{1}{n} \right) \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \end{array}$$ $$\therefore A = \left( \frac{4}{3} \right) (1)(2) = \frac{8}{3}$$ Por lo tanto, el área de la región es \(\frac{8}{3}\).
