Descripción

Cuando hablamos de Euclides, hablamos de geometría y también – aunque de forma muy diferente, como se verá- de aritmética griegas, en concreto, del fruto de la síntesis de tres siglos de racionalidad griega aplicada al pensamiento matemático. El término matemata (µa0~ µm,a en su grafía original), de origen pitagórico, significa «lo que se puede aprender». La escuela pitagórica, activa desde el siglo v a.C., estableció como base del conocimiento científico cuatro «maternas» que les permitían explicar «el orden y la armonía del universo»: aritmética, geometría, música y astronomía.

Según el destacado pitagórico Arquitas de Tarento, la «matemática sería la suma de esos cuatro maternas». (En la Edad Media constituyeron la base del cuadrivio que, junto con las tres artes del trivio – gramática, lógica y retórica- , formaban las «siete artes liberales», la parte central del currículum de las universidades.) En la Grecia clásica – siglos val m a.e.- la palabra matemata no se puede disociar de la palabra filosofía ( cpl11.oaocpta ), «el amor por la sabiduría», cuyo uso se introduce para designar una cierta actitud ante el conocimiento. Este libro se sirve de la figura de Euclides y muy particularmente de su gran obra maestra, los Elementos de geometría, como referente ideológico y metodológico para llevar a cabo un análisis de las aportaciones más relevantes del pensamiento matemático griego. Según el filósofo neoplatónico Proclo, una de las fuentes más importantes de entre las que se dispone acerca de la obra de Euclides, dicho pensamiento arranca con el insigne filósofo y matemático Tales de Mileto, nacido en el año 624 a.c., uno de los siete sabios de Grecia y fundador de lo que a veces se designa como la escuela filosófica de Mileto.

Este arranque coincidiría, según el mismo autor, con el del pensamiento filosófico de la Hélade en su conjunto. El liderazgo de Tales pasaría a Pitágoras de Samos, nacido alrededor del año 570 a.c. y fundador de la escuela místico-filosófica que lleva su nombre. Con ella se da una profundización de la geometría y nace la aritmética entendida corno arte deductiva. Se establecía así la distinción entre la logística o «arte práctico de los números» ( en el que se incluiría la geometría entendida como arte de medir), y la aritmética o «teoría de los números». Las ideas filosóficas de la escuela pitagórica trascendieron e influyeron en la famosa Academia de Platón, activa desde el 387 a.c. En ella floreció un matemático extraordinario, Eudoxo de Cnido, cuya vinculación con la Academia -profesor, alumno, o visitante- es no obstante difícil de precisar.

A él se deben dos conceptos fundamentales que luego recogería Euclides, la teoría de la proporción -necesaria para establecer los teoremas de Tales de líneas y superficies- y el método de exhaución, que constituye la base teórica necesaria para calcular áreas de figuras geométricas planas y volúmenes de sólidos. A lo largo del siglo rv a.c. se consolidaron nuevas herramientas lógicas como las debidas a los filósofos estoicos y a Aristóteles, las cuales constituyen la armazón del texto euclídeo. Aristóteles, en particular, impuso limitaciones al concepto de infinito, una noción de fundamental importancia tanto en la aritmética de raíz pitagórica como en la geometría de Euclides y muy especialmente en el crucial postulado de las paralelas. Los Elementos de Euclides son herencia y síntesis definitiva de estos antecedentes. En el desarrollo de la matemática griega -fundamentalmente en geometría- hay un antes y un después de esta magna obra.

Otros tratados de carácter fundamental -esto es, de índole teórica-, sean de geometría, de astronomía o de aritmética -piénsese en la Sintaxis de Claudio Ptolomeo en laAritmética de Diofanto, en la Sintaxis matemática de Papo de Alejandría- son herederos de su estilo deductivo. Pero su impacto va mucho más allá. El historiador Carl B. Boyer calificó los Elementos como el libro de referencia más influyente de la historia, y estimó que solo la Biblia lo superaba en número de ediciones (cerca de 1000). Descartes y Newton aprendieron en sus páginas, y obras como los Principios de filosofía o los Principia mathematica, escritas casi dos milenios después que los Elementos, son estructuralmente reminiscentes de esta última. Es, con toda seguridad, el texto matemático más relevante jamás escrito.

Toda aproximación biográfica a la figura de Euclides debe conllevar pues el análisis de los Elementos, y a través suyo, de los tres siglos de pensamiento y de epistemología de la matemática griegos que en ellos se recogen. La primera y más importante influencia de la obra procede de las escuelas platónica y aristotélica, de cuyo pensamiento matemático los Elementos puede considerarse la síntesis. Aunque hay autores que ven en los Elementos una mayor influencia del primero, su estructura es, como se verá, fundamentalmente aristotélica, sin que por ello quepa ignorar la influencia de la Academia en cuanto a las aportaciones geométricas concretas ya sean de Teeteto, de Teodoro o de Eudoxo, o en la construcción de los sólidos platónicos que cierra la obra.

Así, se analizará el porqué de algunos de los postulados más relevantes -algunos explícitos en el texto, otros implícitos- y de su necesidad epistemológica y metodológica para el desarrollo del texto euclídeo. También se verá cómo influye la limitación -o si se prefiere la restricción- impuesta por Aristóteles al concepto de infinito y cuáles son las consecuencias que dicha limitación produjo en el desarrollo de las matemáticas posteriores a los Elementos. Otro tema central que se abordará es la cuestión de la existencia de los objetos geométricos, tanto en su aspecto puramente filosófico como en el metodológico. Asimismo, presentaremos en detalle la cuestión de la «cuadratura del círculo», uno de los problemas más relevantes de entre los heredados de la geometría helena, lo que dará pie para hablar del gran Arquímedes y, de pasada, de otras notables figuras de la ciencia antigua

Apolonio, Ptolomeo, Diofanto, Papo y Proclo- , sin las cuales no se puede tener una idea cabal de la «matemática griega» en su conjunto. Finalmente, abordaremos las aportaciones aritméticas -de raíz pitagórica- que Euclides ofrece en los Libros VII, VIII y IX.