Ángulos entre rectas

Dos rectas secantes $r$ y $s$ determinan cuatro ángulos iguales dos a dos; esto se debe a que son ángulos opuestos por el vértice. El más pequeño de los ángulos $\alpha$ y $\beta$ se define como el ángulo entre las rectas $r$ y $s$.

En el caso del dibujo el ángulo entre las rectas $r$ y $s$ sería $\widehat{rx}=b$.

Una forma de determinar dicho ángulo es a partir del producto escalar de los vectores directores de las rectas $r$ y $s$. Sean $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ vectores directores de las rectas $r$ y $s$ respectivamente.

El producto escalar de los vectores $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow {v}$ es:$$ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|\cos \widehat{$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$}$$
Ahora, fijémonos que tomando un vector director de $r$ y uno de $s$, el ángulo formado por dichos vectores coincide con el ángulo entre las dos rectas, si es agudo, o bien con su suplementario si es obtuso:

Por tanto, el coseno del ángulo entre las dos rectas coincidirá, exceptuando el signo, con el del ángulo que forman sus vectores directores, y por tanto tenemos que:
$$\cos \widehat{$r,s$}=|\cos \widehat{$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$}|$$Este último paso se debe a que $$\cos $a$ = – \cos $180 – a$$$
Así, si aislamos en la formula del producto escalar,
$$\cos \widehat{$r,s$}=|\cos \widehat{$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}$$

Nota: El producto escalar entre dos vectores $\overrightarrow{u}=$u_1,u_2$$ y $\overrightarrow{v}=$v_1,v_2$$ se define cómo $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=u_1 \cdot v_1+u_2\cdot v_2$$
Por tanto, si recordamos que la expresión del módulo de un vector es
$$\displaystyle |\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$$Tenemos que en coordenadas la expresión del coseno del ángulo entre dos rectas es:
$$\cos \widehat{$r,s$}=|\cos \widehat{$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$}|=\displaystyle \frac{|\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|}=\frac{|u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2|}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$$

Ejemplo