Definiciones, matriz y matriz principal de las cónicas

Definiciones básicas

Dado un polinomio cuadrático real
$$q$x,y$=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$
con las coordenadas rectangulares $$x, y$$, diremos que la ecuación $q $x, y$ = 0$ define una cónica analítica, que denotaremos por $C_q$.

Nótese que con la palabra cónica queremos decir que la parte principal de $q $x, y$$, $q_2$x,y$=ax^2+2bxy+cy^2$ , no es idénticamente cero en todos sus puntos.

Un punto $$m, n$$ pertenece a la cónica analítica $C_q$ si y solo si $q $m, n$ = 0$. El punto se llama real si las dos coordenadas son reales, y complejo si alguna de sus dos coordenadas son complejas. Como la ecuación es una ecuación con coeficientes reales, si un punto $$m, n$$ complejo pertenece a la cónica, entonces su conjugado también es de la cónica.

Si $$x’, y’$$ es otro sistema de coordenadas rectangular y
$$q’$x’,y’$=a’x’^2+2b’x’y’+c’y’^2+2d’x’+2e’y’+f’$$
es un polinomio cuadrático en $$x’, y’$$, decimos que las ecuaciones $q $x, y$ = 0$ y $q’ $x’, y’$ = 0$ definen la misma cónica analítica si y sólo si existe un número real $K$ diferente de cero tal que: $q’$x’,y’$=Kcdot q$x,y$$ donde se considera $q $x, y$$ un polinomii en el sistema de coordenadas $$x’, y’$$ que se obtiene substituyendo $$x,y$$ por los valores dados por las fórmulas del canvio de coordenadas.

En particular, tenemos que dos polinomios $q $x, y$$ y $q’ $x, y$$ en las mismas coordenadas rectangulares definen la misma cónica si y sólo si existe un número real $K$, no nulo tal que $q$x’,y’$=K cdot q$x,y$$.

Matriz y matriz principal de una cónica

Dada una matriz real simétrica
$$displaystyle overline{A}=begin{bmatrix} a & b & d \ b & c & e \ d & e & f end{bmatrix}$$
le podemos asignar el polinomio
$$q^{overline{A}}$x,y$=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$

La matriz principal de $bar{A}$ es la matriz no nula
$$displaystyle begin{bmatrix} a & b \ b & c end{bmatrix}$$ y al polinomio $q^{bar{A}}$x,y$$ define una cónica analítica $C_{q^{bar{A}}}$: decimos que la cónica analítica es la determinada por la matriz $bar{A}$ referida a las coordenadas $$x,y$$.

Nótese que si $K$ es un número real no nulo, $Koverline{A}$ y $KA$ determinan, referidas a un mismo sistema de coordenadas, la misma cónica analítica.

Además, la parte principal del polinomio $q^{overline{A}}$x,y$$ es el polinomio $q^A$x,y$=ax^2+2bx+cy^2$ correspondiente a la matriz principal $A$.

Recíprocamente, dada una cónica analítica de la forma:
$$q$x,y$=ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f$$
le podemos asignar una matriz simétrica real, donde $a, b, c, d, e, f$ son los coeficientes del polinomio $q $x, y$$.

Como la matriz $overline{A}$ está definida salvo un factor escalar no nulo, escribiremos $[overline{A}]$ para denotarla y diremos que es la matriz de la cónica relativa a las coordenadas $$x, y$$.

La parte principal de la matriz relativa a la cónica es $A$, donde $A$ viene dada por los coeficientes de la parte principal de $q $x, y$$. Podemos escribir:
$$overline{A}= begin{bmatrix} A & omega^T \ omega & c end{bmatrix}, omega=$g,h$$$

entonces son válidos los siguientes resultados:

• Dada una matriz simétrica real , la cónica que determina es la dada por la ecuación $ $x,y,1$ cdot overline{A} cdot $x,y,1$^T=0 $ $ referida a las coordenadas $$x, y$$ $.
• Sean $overline{A}$ y $overline{A}’$’ dos matrices reales simétricas de dimensión $3$. Entonces, la cónica analítica definida por $overline{A}$ – referida a las coordenadas rectangulares $$x, y$$ – coincide con la definida por $overline{A}’overline{A}$- referida a las coordenadas $$x’, y’$$ -, si y sólo si existe una matriz $overline{M}=begin{bmatrix} M & p \ 0 & 1end{bmatrix}$, $M in O$2$$, $p=$r,s$^T$ y $r,s$ reales y un numero $K$ distinto de cero, tales que: $overline{A}’=Kcdot overline{M}^T overline{A}overline{M}$.Además, en este caso también tenemos una igualdad con las matrices principales $A$ y $A’$,$A’ =K cdot M^TAM$

Ejemplo