Invariantes de las cuádricas y clasificación euclídea

Definiciones

Dado un polinomio cuadrático $q$x,y,z$$, sea $overline{A}$ su matriz y $A$ su matriz principal. Definimos los números reales $D_i=D_i$overline{A}$, 1 leq i leq 4, d_i=d_i$A$, 1leq i leq 3 $ por las fórmulas:
$$det$lambda cdot I_4-overline{A}$=lambda^4 -D_1lambda^3+D_2lambda^2-D_3lambda +D_4$$
$$det$lambda cdot I_3-A$=lambda^3-d_1lambda^2+d_2lambda – d_3$$
La expresión $D_4=det$overline{A}$$ se denomina discriminante de $q$x,y,z$$. Análogamente, la expresión $d_3=det$A$$ se llama discriminante de la parte principal de $q$x,y,z$$. Remarcamos que
$$d_1=a+b+c d_2=ab+ac+bc-$f^2+g^2+h^2$$$

En la clasificación efectiva de las cuádricas interviene aún otro factor más, que se llama índice, denotado por $j$, o índice de la parte principal. El índicde principal de $q$x,y,z$$ es $1$ si $d_1d_3 < 0$

Clasificación euclidiana de las cuádricas

Obtención de las ecuaciones reducidas a partir de los invariantes

Supongamos que tenemos una cuádrica dada por la ecuación $q$x,y,z$=0$ en un sistema de coordenadas rectangulares$$x,y,z$$. Supongamos que también hemos determinado la especie de la cuádrica mediante el esquema anterior i tenemos calculados sus valores propios $lambda_1, lambda_2$ y $lambda_3$ de la matriz principal de $q$x,y,z$$.

Cuádricas del tipo centrado

Si la cuádrica es del tipo centrado, la forma reducida $$displaystyle lambda_1 x^2+lambda_2y^2+lambda_3z^2+frac{D_4}{d_3}=0$$referida a un sistema de coordenadas rectangular conveniente, define una cuádrica que coincide con $Q$.

Cuádricas del tipo parabólico

Hay dos valores propios no nulos $lambda_1>0$ y $lambda_2$. La cuádrica definida por la forma reducida$$displaystyle lambda_1x^2+lambda_2y^2-2zsqrt{frac{-D_4}{d_2}}=0$$referida a un sistema de coordenadas conveniente, coincide con $Q$.

Cuádricas degeneradas

Los conos ya han sido considerados. Por lo que respecta a las otras degeneradas, la obtención de una ecuación reducida a partir de los invariantes es equivalente a la obtención de las ecuaciones reducidas de las cónicas. Para las cuádricas del tipo cilíndrico centrado, por ejemplo, la forma reducida es
$$displaystyle lambda_1x^2+lambda_2y^2+frac{D_3}{d_2}=0$$
y para las del tipo cilíndrico parabólico, su forma reducida es
$$displaystyle lambda_1x^2-2ysqrt{frac{-D_3}{d_1}}=0$$

Finalmente, la forma reducida de un par de rectas paralelas es
$$displaystyle lambda_1x^2+frac{D_2}{d_1}=0$$

Como punto final al nivel, se puede calcular el volumen de un elipsoide real mediante los invariantes euclidianos. Su fórmula es
$$displaystyle A=frac{4}{3}pi sqrt{frac{D_4^3}{d_3^3}}$$