Ecuación de la elipse con focos sobre el eje OX

A partir de la definición de elipse llegaremos a su expresión analítica. Se tiene que es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.

Supondremos que en este caso los focos $F$ y $F’$ están sobre el eje $OX$, de forma que vienen definidos por $F’=$-c,0$$ y $F=$c,0$$ y por lo tanto la elipse está centrada en el origen.

Así, por la definición de elipse escribiremos que cualquier punto $P$ de la elipse cumple:
$$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF’}=2a$$ donde $a$ corresponde a una constante que podemos determinar como $a^2=b^2+c^2$.

Veámoslo en el siguiente dibujo:

Desarrollemos ahora
$$\displaystyle \overline{PF}+\overline{PF’}=2a$$
que equivale a la expresión:
$$\displaystyle \sqrt{$x-c$^2+y^2}+\sqrt{$x+c$^2+y^2}=2a$$
Así pues primero pasamos la segunda raíz al otro lado de la igualdad:
$$\displaystyle \sqrt{$x-c$^2+y^2}=2a-\sqrt{$x+c$^2+y^2}$$

Elevamos ambos lados al cuadrado:
$$ \Big$ \sqrt{$x-c$^2+y^2} \Big$^2=\Big$ 2a-\sqrt{$x+c$^2+y^2} \Big$^2$$
$$ $x-c$^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a \cdot \sqrt{$x+c$^2+y^2}+$x+c$^2+y^2$$
$$x^2-2\cdot x \cdot c+c^2+y^2=4a^2-2 \cdot 2a\cdot \sqrt{$x+c$^2+y^2}+x^2+2xc+c^2+y^2$$

Ahora aislamos en un lado de la ecuación la raíz que nos queda, tenemos:
$$4a\sqrt{$x+c$^2+y^2}=4a^2 +4xc$$
$$\displaystyle a\sqrt{$x+c$^2+y^2}=\frac{4a^2+4xc}{4}=a^2+cx$$

Elevamos al cuadrado ambos lados de la igualdad:
$$\Big$a\sqrt{$x+c$^2+y^2}\Big$^2=$a^2+cx$^2 $$
$$ a^2$$x+c$^2+y^2$= a^4+2a^2cx+c^2x^2$$
$$a^2$x^2+2cx+c^2+y^2$=a^4+2a^2cx+c^2x^2 $$
$$ a^2x^2+2a^2cx+a^2c^2+a^2y^2=a^4+2a^2cx+c^2x^2$$

Recordando que existe la relación $a^2=b^2+c^2$, tenemos:
$$$a^2-c^2$x^2+a^2c^2+a^2y^2=a^4$$
$$b^2x^2+a^2y^2=a^4-a^2c^2=a^2$a^2-c^2$=a^2b^2 $$

Ahora dividimos ambos lados de la expresión por el factor $a^2b^2$ y resulta:
$$\displaystyle \frac{b^2x^2+a^2y^2}{a^2b^2}=\frac{a^2b^2}{a^2b^2} $$
$$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$
Esta última expresión es la ecuación de la elipse que queríamos encontrar.

Ejemplo

Ahora vamos a trabajar un poco con esta ecuación.

Ejemplo