Descripción

Este texto es una introducción al álgebra lineal adecuada para un curso que generalmente se ofrece en el nivel de segundo año. El material está organizado en tres partes. La Parte 1 consta de lo que considero material básico: análisis de sistemas de ecuaciones lineales, vectores en (incluidos los conceptos de combinación lineal, base y dimensión), matrices, transformaciones lineales, determinantes, valores propios y espacios propios, así como opcional. La Parte 2 se basa en este material para discutir espacios vectoriales generales, como espacios de matrices y funciones. Incluye temas como el teorema de rango/nulidad, productos internos y representaciones de coordenadas. La Parte 3 completa el curso con algunas de las ideas y métodos importantes del álgebra lineal numérica, como el mal condicionamiento, el pivote, la descomposición LU y la descomposición en valores singulares. Esta edición continúa la tradición de ediciones anteriores al ser una combinación flexible de teoría, importantes técnicas numéricas y aplicaciones interesantes. El libro está organizado en torno a 29 secciones principales.

Estas secciones incluyen temas que creo que son esenciales para un curso de introducción al álgebra lineal. Entonces hay suficiente tiempo para que el instructor seleccione más temas que le den al curso el sabor deseado. Novena edición El espacio vectorial, los subespacios, las bases y la dimensión se presentan al principio (capítulo 1). Luego, estas ideas se utilizan de forma gradual y natural para discutir conceptos tales como transformaciones lineales en (Capítulo 2) y espacios propios (Capítulo 3), lo que conduce a espacios vectoriales generales (Capítulo 4). El nivel de abstracción aumenta gradualmente a medida que los estudiantes avanzan en el curso, y el gran salto que a menudo existe para los estudiantes al pasar del álgebra matricial a los espacios vectoriales generales ya no existe. Los primeros tres capítulos dan la base del espacio vectorial, realmente forman un minicurso elemental bastante completo para el espacio vectorial. El resto del curso se basa en esta base sólida.

Cambios Esta edición es un refinamiento de la octava edición. Se han reescrito ciertas secciones, se han agregado otras y se han incluido nuevos ejercicios. Uno de los objetivos ha sido mejorar la claridad, el flujo y la selección del material. Por ejemplo, se han reescrito las Secciones 1.3, 1.4 y 1.5 sobre el espacio vectorial, los subespacios, la independencia, las bases y el concepto de dimensión. Es importante que los estudiantes dominen a fondo estos conceptos en este momento y puedan verlos desde los puntos de vista algebraico y geométrico. Se utilizan a lo largo del libro. En la edición anterior utilicé el concepto de cizalla para ayudar a motivar la multiplicación de matrices. He decidido que este enfoque es demasiado laborioso en este momento. He decidido que “simple es mejor” aquí: domine primero las ideas algebraicas: tamaño del producto de dos matrices, propiedad asociativa, partición de matrices, etc. Por otro lado, ahora he discutido algunos temas más avanzados con mayor profundidad.

Mientras que en ediciones anteriores tomé la ruta de discutir algunos temas en forma de ejemplo, he tendido a ser más teórico aquí. En la edición anterior, se discutió la diagonalización de formas cuadráticas por medio de un ejemplo en, aquí lo discutimos en. El teorema de los ejes principales se incluye aquí. Si bien en la edición anterior se presentó alguna ilustración de cómo se usa el álgebra lineal en el cálculo (uso de aplicaciones lineales para analizar ciertas ecuaciones diferenciales, Sección 4.9), fue mínima. He decidido en esta edición ilustrar más sobre la superposición entre el álgebra lineal y el cálculo, viendo algunos de los conceptos de ecuaciones diferenciales a través de los ojos del álgebra lineal. Por ejemplo, los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales se resuelven utilizando valores propios y vectores propios. Otra aplicación del álgebra lineal en cálculo es el uso de un Wronskiano para confirmar que un conjunto dado de funciones es linealmente independiente. Creo que varios estudiantes toman un curso de cálculo al mismo tiempo qué álgebra lineal o han tenido un curso de ecuaciones diferenciales antes del álgebra lineal. Estos estudiantes deberían tener la oportunidad de ver cómo varias áreas de las matemáticas se construyen sobre los hombros de otras, sin embargo, el cálculo no es un requisito previo para el libro, se pueden omitir varias discusiones sobre cálculo.