Algebra Lineal – Gabriela Jeronimo, Juan Sabia, Susana Tesauri – 1ra Edición

Descripción

El álgebra lineal es una herramienta básica para casi todas las ramas de la matemática, así como para disciplinas afines tales como la física, la ingeniería y la computación, entre otras. Estas notas, basadas en la materia Álgebra Lineal destinada a alumnos de la Licenciatura en Ciencias y del Profesorado en Matemáticas de la Facultad de Ciencias Exactas y de la Universidad de Buenos Aires, que hemos dictado varias veces, pretenden, entre tantos buenos textos de álgebra lineal existentes, ser solo una introducción básica al tema que se ajusta a los contenidos curriculares del curso y, al mismo tiempo, una guía de estudios para los alumnos.

Las notas no presuponen ningún conocimiento previo de álgebra lineal, aunque sí de algunas propiedades básicas de polinomios a coeficientes en un cuerpo y de , y en algunos ejercicios se utilizan estructuras que provienen de la elemental. Se comienza con las definiciones básicas de estructuras algebraicas necesarias para definir la noción de espacio vectorial, para seguir con la noción de subespacio, sistema de generadores e independencia lineal.

Después de dar una breve introducción al tema de las matrices a coeficientes en un cuerpo, se definen y estudian las transformaciones lineales, el espacio dual y la teoría de determinantes. La diagonalización de matrices y la forma de Jordan de automorfismos en espacios de dimensión finita se desarrollan a continuación, seguidas del estudio de espacios con producto interno reales y complejos. El capítulo de variedades lineales puede verse como una aplicación del álgebra lineal a la geometría afín. Finalmente, se da una breve introducción a la teoría de formas bilineales.

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  • 1 Espacios vectoriales
    1.1 Espacios vectoriales y subespacios
    1.1.1 Preliminares
    1.1.2 Espacios vectoriales
    1.1.3 Subespacios
    1.1.4 Sistemas de generadores
    1.2 Sistemas de ecuaciones lineales
    1.2.1 Sistemas lineales homogéneos
    1.2.2 Método de triangulación
    1.2.3 Cantidad de soluciones de un sistema homogéneo
    1.2.4 Sistemas lineales no homogéneos
    1.3 Independencia lineal y bases
    1.3.1 Independencia lineal
    1.3.2 Bases y dimensión
    1.4 Suma de subespacios
    1.4.1 Subespacio suma
    1.4.2 Suma directa
    1.5 Ejercicios

    2 Matrices
    2.1 Definiciones y propiedades
    2.2 Matrices inversibles
    2.3 Matrices elementales
    2.4 Coordenadas
    2.4.1 Coordenadas de un vector en una base .
    2.4.2 Cambios de base
    2.5 Ejercicios

    3 Transformaciones lineales
    3.1 Definiciones, ejemplos y propiedades básicas
    3.1.1 Transformaciones lineales
    3.1.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal
    3.1.3 Composición de transformaciones lineales
    3.2 Espacios vectoriales de dimensión finita
    3.3 Teorema de la dimensión
    3.4 Proyectores
    3.5 Representación matricial
    3.5.1 Matriz de una transformación lineal
    3.5.2 Matriz de la composición y cambios de bases
    3.6 Rango de una matriz
    3.6.1 Rango columna y rango fila
    3.6.2 Equivalencia de matrices
    3.7 Espacios vectoriales de transformaciones lineales
    3.8 Ejercicios

    4 Espacio dual
    4.1 El espacio dual de un espacio vectorial
    4.2 Base dual
    4.3 Anulador de un subespacio
    4.4 Ejercicios

    5 Determinantes
    5.1 Definición y ejemplos básicos
    5.1.1 Funciones multilineales alternadas
    5.1.2 Existencia y unicidad del determinante
    5.2 Propiedades del determinante
    5.2.1 Determinante de la transpuesta de una matriz
    5.2.2 Matrices triangulares
    5.2.3 Desarrollo del determinante por una fila o columna
    5.2.4 Determinante del producto de matrices
    5.3 Determinantes y matrices inversibles
    5.3.1 Inversibilidad de matrices
    5.3.2 Adjunta de una matriz
    5.3.3 Regla de Cramer
    5.4 Cálculo de algunos determinantes
    5.5 Rango de una matriz y determinante
    5.6 Otra fórmula para el determinante
    5.7 Ejercicios

    6 Diagonalización
    6.1 Nociones básicas
    6.1.1 Autovalores y autovectores
    6.1.2 Polinomio característico
    6.2 Una caracterización de matrices diagonalizables
    6.2.1 Suma directa de subespacios
    6.2.2 Espacios de autovectores y diagonalización
    6.3 Polinomios minimales
    6.3.1 Polinomio minimal de una matriz
    6.3.2 Polinomio minimal de un vector
    6.3.3 Teorema de Hamilton-Cayley
    6.3.4 Un criterio de diagonalización usando el polinomio minimal
    6.4 Subespacios invariantes
    6.5 Ejercicios

    7 Forma de Jordan
    7.1 Transformaciones lineales nilpotentes
    7.1.1 Definiciones y propiedades básicas
    7.1.2 Existencia de forma de Jordan para una transformación lineal nilpotente
    7.1.3 Unicidad de la forma de Jordan nilpotente. Semejanza
    7.2 Caso general
    7.2.1 Forma de Jordan de una transformación lineal
    7.2.2 Unicidad de la forma de Jordan
    7.3 Aplicación:Cálculo de las potencias de una matriz
    7.4 Ejercicios

    8 Espacios vectoriales con producto interno
    8.1 Producto interno
    8.1.1 Definición y ejemplos
    8.1.2 Norma de un vector
    8.1.3 Distancia entre vectores
    8.1.4 Angulo entre dos vectores ´
    8.1.5 Matriz de un producto interno
    8.2 Ortogonalidad
    8.2.1 Conjuntos ortogonales y ortonormales
    8.2.2 Complemento ortogonal
    8.2.3 Proyección ortogonal
    8.2.4 Distancia de un punto a un subespacio
    8.3 Endomorfismos en espacios vectoriales con producto interno
    8.3.1 Adjunta de una transformación lineal
    8.3.2 Transformaciones autoadjuntas y matrices hermitianas
    8.3.3 Transformaciones unitarias y ortogonales
    8.3.4 Clasificación de transformaciones ortogonales
    8.4 Ejercicios

    9 Variedades lineales
    9.1 Nociones básicas
    9.1.1 Variedades lineales
    9.1.2 Algunas variedades lineales particulares
    9.1.3 Otra forma de describir variedades lineales
    9.2 Intersección y suma de variedades lineales
    9.2.1 Intersección de variedades lineales
    9.2.2 Variedades lineales paralelas y alabeadas
    9.2.3 Suma de variedades lineales
    9.3 Variedades lineales en espacios con producto interno
    9.3.1 Ortogonalidad de variedades lineales
    9.3.2 Angulo entre rectas y planos ´
    9.3.3 Distancia de un punto a una variedad lineal
    9.3.4 Distancia entre variedades lineales
    9.4 Ejercicios

    10 Formas bilineales
    10.1 Definición y ejemplos
    10.2 Matriz de una forma bilineal
    10.3 Formas bilineales simétricas
    10.3.1 Definiciones y propiedades básicas
    10.3.2 Diagonalización de formas bilineales simétricas
    10.4 Formas bilineales simétricas reales
    10.4.1 Clasificación
    10.4.2 Formas bilineales definidas positivas
    10.5 Ejercicios .
    Bibliografía
    Indice Alfabético
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