Descripción

Este desafortunado nombre, que parece implicar que hay algo de irreal en estos números y que solo llevan una existencia precaria en la imaginación de algunas personas, ha contribuido mucho a hacer sospechoso todo el tema de los números complejos a los ojos de generaciones de estudiantes de secundaria. . Zeev Nehari [21] sobre el uso del término número imaginario En los siglos anteriores al movimiento del siglo XIX, para garantizar que el análisis matemático tuviera una base lógica sólida, los números complejos, aquellos números generados algebraicamente sumando ??1 al número real campo, se utilizaron con mayor frecuencia a medida que un número cada vez mayor de matemáticos y físicos los vieron como herramientas útiles para resolver problemas de la época.

El siglo XIX vio el nacimiento del análisis complejo, comúnmente conocido como teoría de funciones, como un campo de estudio, y desde entonces se ha convertido en un tema hermoso y poderoso. Las funciones a las que se hace referencia en el nombre “teoría de funciones” son principalmente funciones analíticas, y un primer curso de análisis complejo se reduce al estudio del plano complejo y las propiedades únicas y, a menudo, sorprendentes de las funciones analíticas. Los conceptos familiares del cálculo $la derivada, la integral, las secuencias y las series$ son omnipresentes en el análisis complejo, pero sus manifestaciones e interrelaciones son novedosas en este entorno.

Por lo tanto, es posible, y posiblemente preferible, ver estos temas abordados de una manera que ayude a enfatizar estas diferencias, en lugar de seguir el mismo orden que se ve en el cálculo. Este texto surgió de las notas del curso que desarrollé y probé en muchos estudiantes desprevenidos durante varias iteraciones de enseñanza de análisis complejo de pregrado en el Instituto de Tecnología RoseHulman y la Universidad de Scranton. Las siguientes características, arraigadas en mis sesgos personales de cómo pensar mejor en la teoría de funciones, son dignas de mención. El análisis complejo raras veces debe subestimarse como un simple cálculo con números complejos en lugar de números reales y se distingue de serlo en cada oportunidad posible.

Las series se colocan al frente y al centro y son una presencia constante en una serie de pruebas y definiciones. La analiticidad se define utilizando series de potencias para enfatizar la diferencia entre las funciones analíticas y las funciones diferenciables estudiadas en cálculo. Existe una simetría intuitiva entre el análisis de ceros usando series de potencias y singularidades usando series de Laurent. La temprana introducción de las series de potencias permite que las complejas funciones exponenciales y trigonométricas se definan como extensiones naturales de sus contrapartes reales. Muchas propiedades de las funciones analíticas parecen contrarias a la intuición $quizás increíbles$ para los estudiantes que acaban de dejar el cálculo, y verlas lo antes posible enfatiza la naturaleza distintiva del análisis complejo.

En servicio de esto, el teorema de Liouville, la factorización usando ceros, el teorema de mapeo abierto y el principio máximo se consideran antes de la teoría integral de Cauchy más complicada. La teoría de funciones analíticas se basa en la trinidad de series de potencias, la derivada compleja y las integrales de contorno. En consecuencia, las ecuaciones de Cauchy-Riemann, una expresión alternativa de analiticidad ligada a la diferenciabilidad en dos variables reales, se asocian naturalmente con el teorema de mapeo conforme al final de la línea de propiedades de las funciones analíticas. Las funciones armónicas, que también dependen en gran medida de este tema de cálculo multivariable, son el tema del capítulo final, lo que permite que su estudio se beneficie de la teoría completa de las funciones analíticas.

Las propiedades de mapeo geométrico de las funciones planas brindan una intuición que fue proporcionada fácilmente por los gráficos de funciones en cálculo y ayudan a vincular la geometría con la teoría de funciones. En particular, las transformaciones fraccionarias lineales $Möbius$ se desarrollan al servicio de este principio, antes de la introducción de la analiticidad o el mapeo conforme. El estudio de cualquier tipo de análisis requiere una caja de herramientas que contenga hechos geométricos y topológicos básicos y las propiedades relacionadas de las secuencias. Estos temas, en el entorno plano, se abordan por adelantado para una fácil referencia, a fin de no interrumpir la presentación posterior de la teoría de funciones.