Descripción
Este texto está destinado a estudiantes universitarios de matemáticas, física e ingeniería. Hemos intentado lograr un equilibrio entre los aspectos puros y aplicados del análisis complejo y presentar conceptos en un estilo de escritura claro que sea comprensible para estudiantes de nivel universitario junior o senior. Una gran cantidad de ejercicios que varían tanto en dificultad como en contenido le dan flexibilidad al texto. Se incluyen suficientes aplicaciones para ilustrar cómo se utiliza el análisis complejo en ciencia e ingeniería. El uso de gráficos por computadora brinda información para comprender que el análisis complejo es una herramienta computacional de valor práctico. Los conjuntos de ejercicios ofrecen una amplia variedad de opciones para habilidades computacionales, comprensión teórica y aplicaciones que han sido probadas en clase en dos ediciones del texto. Se sugieren proyectos de investigación de los estudiantes a lo largo del texto y se hacen citas a la bibliografía de libros y artículos de revistas.
El propósito de los primeros seis capítulos es sentar las bases para el estudio del análisis complejo y desarrollar los temas de funciones analíticas y armónicas, funciones elementales e integración de contornos. Si el objetivo es estudiar series y el cálculo de residuos y sus aplicaciones, entonces se pueden cubrir los Capítulos 7 y 8. Si se desea mapeo conforme y aplicaciones de funciones armónicas, entonces los Capítulos 9 y 10 pueden estudiarse después del Capítulo 6. Se ha agregado un nuevo Capítulo 11 sobre transformadas de Fourier y Laplace para cursos que enfatizan más aplicaciones. Las pruebas se mantienen en un nivel elemental y se presentan de una manera independiente que es comprensible para los estudiantes con experiencia en cálculo de segundo año. Por ejemplo, se incluye el teorema de Green y se utiliza para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat. Se incluye la prueba de Goursat.
El desarrollo de series está orientado a aplicaciones prácticas y se destaca por:
- El mapeo conforme: Se presenta de manera visual y geométrica para que se puedan entender las composiciones e imágenes de curvas y regiones.
- Los problemas de valores en la frontera para funciones armónicas se resuelven primero en el semiplano superior para que el mapeo conforme mediante funciones elementales pueda usarse para encontrar soluciones en otros dominios.
- La fórmula de Schwarz-Christoffel: Se desarrolla cuidadosamente y se dan aplicaciones.
- Los modelos matemáticos bidimensionales se utilizan para aplicaciones en el área de flujo de fluido ideal, temperaturas en estado estacionario y electrostática.
- Las figuras dibujadas por computadora representan con precisión líneas de corriente, isotérmicas y curvas equipotenciales.
- Lo nuevo de esta tercera edición es una introducción histórica del origen de los números complejos en el Capítulo 1.
- Una introducción temprana a las secuencias y series aparece en el Capítulo 4 y facilita la definición de la función exponencial a través de series.
- Una nueva sección sobre los conjuntos de Julia y Mandelbrot muestra cómo el análisis complejo está conectado con temas contemporáneos en matemáticas.
Asímismo, se han revisado muchas secciones, incluidas ramas de funciones, funciones elementales y series de Taylor y Laurent. El nuevo material incluye una sección sobre el perfil aerodinámico de Joukowski y un capítulo adicional sobre las series de Fourier y las transformadas de Laplace. En la tercera edición se han introducido ilustraciones modernas generadas por computadora que incluyen: superficies de Riemann, gráficos de contornos y superficies para funciones armónicas, el problema de Dirichlet, líneas de corriente que involucran funciones armónicas y analíticas, y mapeo conforme.
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