Es importante resaltar que, en general, las ecuaciones diferenciales no tienen solución. Como podrá observarse, una vez conocida la clasificación, existe un número infinito de ecuaciones diferenciales, pero hasta hoy no han podido resolverse todas las ecuaciones imaginables. De hecho, muy pocas son solubles. En un primer curso de ecuaciones diferenciales solo se estudian métodos de solución de algunos casos especiales que por su “simplicidad” permiten desarrollar procedimientos que utilizan conceptos básicos del cálculo.
Resolver una ecuación diferencial significa determinar una función definida en un intervalo adecuado tal que satisfaga la ecuación.
Si \(f\) es una función definida en algún intervalo tal que al sustituirla en una ecuación diferencial la satisface, se dice entonces que \(f\) es una solución de la ecuación diferencial.
En otras palabras, una función satisface una ecuación diferencial si al sustituirla en ella, la reduce a una identidad.
Intervalo de definición: No es posible considerar una solución de una ecuación diferencial ordinaria sin pensar al mismo tiempo en un intervalo. El intervalo I de la definición anterior se denomina de diversas maneras: intervalo de definición, intervalo de validez o dominio de la solución y puede ser un intervalo abierto \((a, b)\), un intervalo cerrado \([a, b]\), un intervalo infinito \((a, \infty)\), etcétera.
Curva de solución: La gráfica de una solución \(\phi\) de una EDO se denomina curva de solución. Ya que \(\phi\) es una función diferenciable, será continua sobre su intervalo de definición. De esta forma puede presentarse una diferencia entre la gráfica de la \( \text{función}\,\phi\) y la gráfica de la \( \text{solución}\,\phi\). En otras palabras, el dominio de la función \(\phi\) no necesita ser el mismo que el intervalo de definición (o dominio) de la solución \(\phi\).
Clasificación de las soluciones de una ecuación diferencial
Existen tipos diferentes de soluciones para las ecuaciones diferenciales, es por ello que las soluciones de una ecuación diferencial también se clasifican. La primera clasificación las divide en soluciones explícitas e implícitas, en familias de soluciones, soluciones particulares y soluciones singulares.
Solución implícita
Usted debe estar familiarizado con los términos funciones explícitas e implícitas gracias a sus estudios de cálculo. Se dice que una relación del tipo \(\operatorname{G}(x, y) = 0\) es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria sobre un intervalo \(I\) siempre que exista al menos una función \(\phi\) que satisfaga la relación así como a la ecuación diferencial sobre \(I\).
En otras palabras, si ninguna de las variables está resuelta en términos de la otra, entonces decimos que la solución está dada en forma implícita, y se representa generalmente por la expresión \(\operatorname{G}(x, y) = c\)
Solución explícita
Una solución en que la variable dependiente se expresa sólo en términos de la variable independiente y constantes se denomina solución explícita. Esto es, una solución está en forma explícita si se puede expresar en la forma \(y = f(x)\) , o bien \(x = g(y)\) .
En términos simples, una solución está dada en forma explícita si aparece “despejada” alguna de las variables en términos de la otra, y en caso contrario, cuando no aparece resuelta ninguna de las variables, la solución está dada en forma implícita.
Familias de soluciones
El estudio de las ecuaciones diferenciales es similar al del cálculo integral. En algunos libros, a una solución \(\phi\) se le denomina en ocasiones como la integral de la ecuación, y su gráfica se conoce como una curva integral. Al evaluar una antiderivada o integral indefinida en cálculo, utilizamos una sola constante c de integración.
En forma análoga, al resolver una ecuación diferencial de primer orden \(\operatorname{F}(x, y, y\prime) = 0\), por lo general obtenemos una solución que contiene una sola constante arbitraria o parámetro c. Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto \(\operatorname{G}(x, y, c) = 0\), de soluciones denominadas familia de soluciones de un parámetro.
Si una solución no contiene parámetros arbitrarios, se dice que es una solución particular. Si la función \(y = 0\) es una solución, decimos que \(y = 0\) es la solución trivial. Una solución particular siempre está contenida en la familia de soluciones. Una manera de obtener muchas soluciones particulares de una ecuación diferencial es dando valores específicos a las constantes arbitrarias de la familia de soluciones.
Una solución de una ecuación diferencial se denomina solución singular si no puede obtenerse de la familia de soluciones al darle valores a las constantes arbitrarias.
Pasos para resolver una ecuación diferencial
Para resolver una ecuación diferencial primero hay que identificarla y después arriesgarse en su solución. Una realidad dinámica se caracteriza por sus cambios, los cuales se controlan en cálculo por medio de derivadas o diferenciales, por lo que una ecuación que contiene derivadas o diferenciales es una ecuación diferencial.
Ya identificada, intentemos integrarla, y si eso no resulta como un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales más o menos familiares. Por ejemplo, si tenemos la siguiente ecuación diferencial:
$$\frac{d^2y}{dx^2}= x$$ (1)
Estamos ante una ecuación diferencial que contiene una segunda derivada, por lo que la llamamos de segundo orden. Si integramos podemos obtener:
$$\frac{d^2y}{dx^2}= x \Rightarrow \frac{dy}{dx}(\frac{dy}{dx})= x \Rightarrow$$ (2)
En la vida cotidiana, si algún problema real requiere de modelarse matemáticamente mediante una ecuación diferencial, la misma naturaleza del problema establece condiciones adicionales que permiten calcular una única solución. Es decir, para un problema específico no es de utilidad conocer la familia de soluciones, porque esta contiene una infinidad de soluciones, ni mucho menos descubrir que nuestro problema no tenga una solución factible.
