POINCARÉ: La Topología. Las Matemáticas Pierden Las Formas – Alberto Tomás Pérez

En la ciudad francesa de Nancy, en la esquina entre la Grand Rue y la Rue de Guise, hay una pequeña farmacia. Este establecimiento ocupa hoy en día, tal y como lo hacía hace más de 150 años, los bajos de un edificio de tres plantas, el Hotel Martigny. En la fachada que da a la Grand Rue, a la altura del primer piso, hay una placa conmemorativa que dice: «En esta casa nació el 29 de abril de 1854 Henri Poincaré, miembro de la Academia Francesa y de la Academia de Ciencias, muerto en París el 17 de julio de 1912». No muy lejos de allí, en la Rue de la Visitation, se encuentra el Liceo Henri Poincaré, llamado así en honor del ilustre hijo de la ciudad. Y andando por la fachada principal de esta institución en dirección a, la Grand Rue se llega a la calle Henri Poincaré. Casi paralela a esta última, discurre otra calle más ancha y más larga, la calle Raymond Poincaré, dedicada a su primo, el presidente de la República Francesa durante la Primera Guerra Mundial. La ciudad honra así a sus ciudadanos más distinguidos.

En Francia, la figura del político parece ser más valorada que la del matemático, a juzgar por la importancia de las calles que les dedican, pero Henri Poincaré perteneció a esa clase de hombres cuyo legado traspasa todas las fronteras, las espaciales y las temporales. A pesar de que Poincaré vio su ciudad natal invadida por las tropas alemanas siendo adolescente, el resto de su vida transcurrió en un período de paz, el comprendido entre la guerra franco-pru7 8 siana de 1870-1871 y el comienzo de la Primera Guerra Mundial en 1914, de la que ya no fue testigo. En el plano político, la Tercera República, instaurada tras la caída del emperador Napoleón III y el fracaso de la Comuna de París, consiguió sobrevivir gracias a una Constitución flexible que permitió la alternancia en el poder de gobiernos de distinto signo. Poincaré nunca ejerció una actividad política, pero siempre estuvo bien relacionado con el poder y no solo por la buena sintonía que mantuvo con su primo. Fue esta una época de un trepidante crecimiento económico e industrial.

Y, al igual que en Alemania, la ciencia – elemento fundamental para el desarrollo tecnológico- era promovida y financiada tanto estatal como privadamente. En los últimos años del siglo XIX se produjo la electrificación de buena parte de Europa, así como la difusión del telégrafo. En los primeros años del siglo xx surgió la telegrafía sin hilos. Estos avances planteaban problemas, tanto teóricos como prácticos, que interesaron a científicos e ingenieros de todos los países avanzados. En Francia, al igual que en Alemania, a finales del siglo XIX se consolidó un sistema de enseñanza público a todos los niveles educativos. Las Grandes Écoles, que databan de la época de la Revolución, se consolidaron como centros de élite de la enseñanza superior y en ellas estudiaron los hombres más brillantes de la época, ya fueran ingenieros, matemáticos, economistas o políticos. Poincaré se formó en uno de estos centros. París, donde Poincaré vivió la mayor parte de su vida, sufrió una gran remodelación a finales del siglo XIX.

En 1889, con motivo de la Exposición Universal de ese año, finalizó la construcción de la Torre Eiffel. Durante la Exposición Universal de 1900 se construyó la primera línea del metro. La ciudad se modernizó y expandió, convirtiéndose en una de las grandes urbes mundiales. Era La Belle Époque, un período caracterizado, al menos en apariencia, por el optimismo, la expansión económica y social, la confianza en la ciencia y el progreso. También fue una época de renovación artística, en la que surgieron movimientos estéticos que siguen siendo admirados hoy en día. Poincaré se distinguió desde pequeño por una excepcional capacidad para las matemáticas. En el otoño de 1873 ingresó en la École Polytechnique, una de las Grandes Écoles, y de allí pasó a la Escuela de Minas de París. Se licenció como ingeniero de minas en 1878, pero su principal interés eran las matemáticas y, por este motivo, simultaneó los estudios de ingeniería con los de matemáticas en la Sorbona.

Ejerció algunos meses como ingeniero de minas en Vesoul, durante los cuales fue testigo de los estragos causados por un terrible accidente. A finales de 1879 obtuvo una plaza de profesor en la Universidad de Caen. A partir de ese momento ya se dedicó en exclusiva a las matemáticas y la ciencia. El primero de los grandes trabajos de Poincaré estuvo centrado en el estudio de las ecuaciones diferenciales. Inventó unas funciones, que él llamó «fuchsianas» y que hoy en día se conocen como «automórficas», que servían para resolver ecuaciones diferenciales muy generales. Este trabajo le valió el reconocimiento de los matemáticos franceses -en especial de Charles Hermite, que había sido profesor suyo en la escuela politécnica y que le apoyaría durante el resto de su carrera- y también le dio a conocer en el ámbito internacional. Así, el matemático sueco Gosta Mittag-Leffler se fijó en sus trabajos, iniciándose entonces una relación profesional y de amistad que sería muy provechosa para ambos. Pero el nombre de Henri Poincaré saltó a la fama mundial cuando en enero de 1889 ganó un concurso matemático convocado por el rey Óscar II de Suecia. El trabajo presentado por Poincaré trataba sobre el problema de los tres cuerpos: encontrar la trayectoria de tres cuerpos sometidos a su mutua atracción gravitatoria.

Aunque la concesión del premio no estuvo exenta de dificultades – Poincaré cometió un error en la memoria original que él mismo detectó y corrigió–, lo cierto es que este trabajo representa una de las mayores aportaciones de Poincaré a la historia de las matemáticas. Al ser el problema de los tres cuerpos de una enorme complejidad, Poincaré no intentó una resolución general, sino que buscó una comprensión cualitativa de la estructura general de las soluciones. En su trabajo desarrolló toda una serie de conceptos y herramientas matemáticas nuevas que hoy en día se usan en lo que se conoce como teoría de los sistemas dinámicos. 9 10 Esta teoría matemática se aplica a campos tan diversos como la física, la biología, la química o la economía. Poincaré ocupó diversas cátedras de Física y Matemáticas en París a partir de 1881. El premio del rey de Suecia le convirtió en uno de los hombres de ciencia más cono.cidos de Francia y sus trabajos posteriores no hicieron sino acrecentar su fama.

Entre estos trabajos se encuentran los dedicados a la topología, de la que es considerado como uno de sus fun~adores. La topología es la rama de las matemáticas que trata especialmente de la continuidad y de otros conceptos más generales originados de ella, como las propiedades de las figuras con independencia de su tamaño o forma. En topología, dos objetos son equivalentes si podemos deformar uno de ellos de manera continua, sin hacer cortes ni agujeros, hasta convertirlo en el otro. Para un topólogo, un triángulo y un cuadrado son la misma cosa. La topología estudia propiedades más generales que las que estudia la geometría. Se trata de caracterizar un objeto sabiendo de cuántas partes está compuesto, si tiene agujeros, si posee una frontera definida, si es finito o, en cambio, se extiende sin fin, etc. Poincaré se interesó por la topología a partir de sus trabajos con las ecuaciones diferenciales y el problema de los tres cuerpos. Y ello le llevó a la necesidad de generalizar los conceptos y las herramientas matemáticas de la topología a espacios de más de tres dimensiones.

El nombre de Poincaré volvió a aparecer en los medios de comunicación a principios del siglo XXI con motivo de la resolución de un problema topológico que él enunció cien años antes, problema que se conoce como «la conjetura de Poincaré». Convertida ya en teorema desde que fue resuelta, esta afirma, en un lenguaje no demasiado técnico, que «toda superficie de n dimensiones que sea finita, no tenga agujeros y no esté retorcida, la podemos deformar continuamente hasta convertirla en una esfera». En el capítulo cuatro daremos un enunciado más riguroso, e introduciremos los conceptos matemáticos necesarios para hacerlo. Poincaré no propuso la conjetura como tal, sino que lo hizo a modo de pregunta, aunque todos los matemáticos posteriores a él esperaban que la respuesta fuera positiva.

El problema se reveló tan difícil de resolver que en el año 2000 el Instituto Clay lo incluyó entre uno de los problemas del milenio, y prometió un millón de dólares a quien lo resolviera. La demostración final fue obra del matemático ruso Grigori Perelman (n. 1966), quien, tras varios años de trabajo en solitario, lo resolvió a inicios del presente siglo. Perelman se hizo por ello merecedor de la medalla Fields, uno de los mayores reconocimientos que puede recibir un matemático, y del premio de los problemas del milenio, pero rechazó ambos. Henri Poincaré fue también uno de los físicos teóricos más importantes de su tiempo. Especialmente crucial fue su contribución a la teoría especial de la relatividad, de la que es, junto a Lorentz y Einstein, uno de sus fundadores. Ya en torno a 1900 Poincaré apostaba por mantener el principio de relatividad como un principio básico de la física.

Este principio se puede enunciar diciendo que las leyes de la física son las mismas para todos los observadores, independientemente de si están o no en movimiento. El espacio absoluto no existe y es, por tanto, imposible detectar el movimiento de un objeto respecto de este espacio absoluto. Solo es posible detectar el movinúento relativo entre dos objetos. Además, Poincaré también admitía la constancia de la velocidad de la luz, aunque como una convención inevitable. Recordemos que estos dos principios, el principio de relatividad y la constancia de la velocidad de la luz, son los dos postulados que introdujo Einstein en su primer artículo sobre la relatividad.

Entre los hallazgos de Poincaré estaba el hecho de que la sincronización mediante rayos lunúnosos llevaba a que la simultaneidad de dos sucesos era relativa, ya que dependía del observador. Un hecho este que la teoría de la relatividad pondría sobre bases firmes. En 1905 Poincaré escribió el artículo «Sobre la dinámica del electrón», cuyo contenido es en gran parte similar al artículo «Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento» que Albert Einstein publicó ese mismo año, y que se considera el artículo fundacional de la teoría de la relatividad. Las predicciones cuantitativas de ambos científicos para el movimiento de un electrón sometido a campos eléctricos y magnéticos son iguales, y también son iguales a las que ya había deducido Lorentz. La diferencia entre estos artículos es, sobre todo, de interpretación.

En la interpretación de las consecuencias cinemáticas de las transformaciones de las distancias y los tiempos -las transformaciones de Lorentz- Einstein es más audaz que Lorentz y Poincaré, y rompe de una manera más explícita con los antiguos conceptos de espacio y tiempo. Henri Poincaré también destacó por sus reflexiones filosóficas, especialmente en el campo de la epistemología o filosofía de la ciencia Publicó muchos artículos sobre este tema y se convirtió en autor de éxito con una colección de ensayos dirigidos al gran público, en los que combinaba la disquisición filosófica con la divulgación científica. Poincaré formó parte de muchas academias y sociedades científicas y fue un hombre social y profesionalmente muy reconocido. Su prestigio, no solo en Francia, era enorme y ello le permitía frecuentar los círculos más selectos de la vida intelectual y política de la época. Falleció por una complicación inesperada tras una operación de próstata. A su entierro acudieron grandes personalidades de la cultura y la política francesas y su muerte fue lamentada por todos los científicos del momento, dentro y fuera de Francia.