Descripción

Este libro surgió de un curso de grado que he impartido en la Universidad Nacional de Australia $ANU$ durante más de 20 años. El curso tiene una duración de un semestre, lo que significa que dura un total de 12 semanas. En cada semana doy dos conferencias, donde una conferencia se define como una clase de 100 minutos con un descanso de 5 minutos en el medio. Este formato de conferencia es común en Europa, pero se puede implementar en casi todas partes, por ejemplo, en la ANU, donde un período de enseñanza normal es de 50 minutos, simplemente reservo dos períodos consecutivos para cada conferencia.

En principio, un semestre de 12 semanas puede albergar 24 conferencias de este tipo, pero el material del curso solo ocupa 21, y el tiempo restante se dedica a discutir tareas, revisar, etc. Mientras transformaba mis notas de clase en un libro, decidí mantener la división del material del curso en 21 conferencias. Este enfoque es inusual, ya que la mayoría de los autores organizan el contenido en capítulos, y cada capítulo se adapta a un tema en particular.

Sin embargo, encuentro que dividir el material de acuerdo con la forma en que se presenta en las conferencias tiene varias ventajas en comparación con la composición tradicional de libros basada en temas. De hecho, en primer lugar, la organización basada en conferencias garantiza que el contenido se divida en partes $aproximadamente$ iguales, de modo que ninguna de ellas se destaque y parezca intimidante para los estudiantes, al menos en lo que respecta a la longitud. Este tema se vuelve particularmente importante para aquellos que desean usar el libro para el autoaprendizaje y les gustaría seguir de cerca su progreso general. En segundo lugar, el formato basado en conferencias garantiza que los estudiantes obtengan más capacitación para los temas más avanzados, que se distribuyen en varias conferencias. De hecho, cada lección tiene su propio conjunto único de ejercicios, y se recomienda encarecidamente a los estudiantes que hagan al menos algunos de ellos antes de continuar.

Entonces es automático que cuanto más difícil sea el tema, más ejercicios se espera que uno haga para atravesarlo. También se debe mencionar que algunos de los ejercicios de cada lección sirven como preparación para la siguiente. En tercer lugar, la división basada en conferencias brinda pautas de enseñanza claras al instructor, al mismo tiempo que permite la posibilidad de reorganizar el material de acuerdo con su propio gusto. Como el libro cubre un curso de un semestre, es más corto que la mayoría de los textos de análisis complejos $aproximadamente 200 páginas$.

Es bien sabido que muchos estudiantes se sienten intimidados por los libros largos y voluminosos, por lo que se espera que esté más corto, que contiene exactamente el material que debe aprenderse en un curso de un semestre, tenga un mayor atractivo. Otra característica del libro que puede gustar a los estudiantes es un estilo de escritura conversacional fácil de leer. Por ejemplo, hay muchos ejemplos completamente elaborados y explicaciones textuales de declaraciones formales, con palabras sencillas utilizadas sistemáticamente en las formulaciones de teoremas, proposiciones, etc. Además, se invita al lector a participar en la exposición completando varios detalles. De argumentos formales como lo indican las expresiones entre paréntesis, por ejemplo, $¡marque!$, $¡explique!$, $¡brinde detalles!$. Las demostraciones de algunas de las afirmaciones se dejan como tarea.

De hecho, se recomienda encarecidamente hacer la tarea semanal con muchos ejercicios para elegir al final de cada lección. Tenga en cuenta que los ejercicios tienen un grado variable de dificultad para adaptarse a diferentes cohortes de estudiantes y van desde preguntas de rutina hasta problemas bastante difíciles. Aunque la selección de temas cubiertos en el libro puede parecer estándar, este es más que un libro sobre análisis complejo, ya que trata conceptos que se encuentran fuera del alcance de un curso típico de análisis complejo, como la homotopía y las propiedades algebraicas de grupos de transformaciones conformes. De hecho, la exposición no es estándar en el sentido de que el resultado central, del cual se deriva la mayor parte del material, es el Teorema de la independencia de la homotopía de Cauchy $en este sentido, ciertamente fui influenciado por A. Vitushkin, de quien tomé mi primer análisis complejo$. Curso y quien más tarde se convirtió en mi asesor de tesis doctoral$.

Las exposiciones basadas en el teorema anterior son difíciles de conseguir, y las que conozco no me satisfacen, a menudo por falta de rigor. Al mismo tiempo, la independencia de la homotopía permite tener una derivación limpia y agradable del Teorema Integral de Cauchy y la Fórmula Integral de Cauchy $ver Lección 10$. Esta es una de las razones por las que he decidido escribir mi propio libro. Otro ejemplo de un enfoque no estándar de la exposición es la demostración del Teorema fundamental del álgebra que se da en la lección 1. El hecho de que este importante resultado se pueda obtener tan temprano en el libro y de una manera tan elemental demuestra el poder de los números complejos. Y establece el tono para todo el curso. El libro concluye con una prueba de otro hito importante, el teorema de mapeo de Riemann, que rara vez forma parte de un curso universitario de un semestre.